三角関数の公式(証明1)

三角関数の公式(証明)
$3$\displaystyle{ { \sin }^{2}{\theta}+{ \cos }^{2}{\theta}=1 }$

<証明>

三角関数の定義より，

$3$\displaystyle{ \sin {\theta}=\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}r\hspace{2}},\cos {\theta}=\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}r\hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{x=r\sin {\theta}}$ ･･･(1)
$3$\displaystyle{y=r\cos {\theta}}$ ･･･(2)

$3$\displaystyle{\triangle \text{OQP}}$ において，三平方の定理より，

$3$\displaystyle{\begin{array}{lll}{\text{OQ}}^{\text{2}}+{\text{PQ}}^{\text{2}}={\text{OP}}^{\text{2}}& \vspace{6}\\ { \|x\| }^{2}+{ \|y\| }^{2}={r}^{2}& \vspace{6}\\ {x}^{2}+{y}^{2}={r}^{2}& \vspace{6}\\ \end{array}}$ ･･･(3)

(3)に(1)と(2)を代入すると，

$3$\displaystyle{{\sin }^{2}{\theta}+{\cos }^{2}{\theta}=1}$

が得られる。

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