正弦定理の証明(2)

次に $3$\displaystyle{\triangle \text{ABC}}$ の外接円を描き，その円の中心を $3$\displaystyle{\text{O}}$ ，半径を $3$\displaystyle{R}$ とする。 $3$\displaystyle{\text{BO}}$ を延長して外接円と交わる点を $3$\displaystyle{{A}^{\prime }}$ とする。

円周角の定理より
$3$\displaystyle{\angle \text{BAC}=\text{B}{A}^{\prime }\text{C}}$ で、
$3$\displaystyle{\angle {A}^{\prime }\text{CB}=90^\circ }$ であるので，

$3$\displaystyle{2R\sin \angle \text{B}{A}^{\prime }\text{C}=\text{a}}$
　　　 ↓
$3$\displaystyle{2R\sin A=\text{a}}$

すなわち，

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}\text{a}\hspace{2}}{\hspace{2} \sin A \hspace{2}}=2R}$

となる。よって，正弦定理は，

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}\text{a}\hspace{2}}{\hspace{2} \sin A \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}\text{b}\hspace{2}}{\hspace{2} \sin B \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}\text{c}\hspace{2}}{\hspace{2} \sin C \hspace{2}}=2R}$

となる。

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