和積の公式1

和積の公式の導出(1)
$3$\displaystyle{\sin x+\sin y=}$

$3$\displaystyle{2\sin \frac{\hspace{2} x+y \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cos \frac{\hspace{2} x- y \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

積和の公式

$3$\displaystyle{\sin {\alpha}\cos {\beta}=}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \{ \sin $ {\alpha}+{\beta} $ +\sin $ {\alpha}- {\beta} $ \} }$ ※

において，

$3$\displaystyle{{\alpha}=\frac{\hspace{2} x+y \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}},{\beta}=\frac{\hspace{2} x- y \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

とおいて代入すると，

$3$\displaystyle{\sin \frac{\hspace{2} x+y \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cos \frac{\hspace{2} x- y \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{\begin{array}{lll}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \{\begin{array}{lll}\sin $ \frac{\hspace{2} x+y \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}+\frac{\hspace{2} x- y \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ & \vspace{6}\\ +\sin $ \frac{\hspace{2} x+y \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}- \frac{\hspace{2} x- y \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ & \vspace{6}\\ \end{array}\} & \vspace{6}\\ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ \sin x+\sin y $ & \vspace{6}\\ \end{array}}$

したがって，

$3$\displaystyle{\sin x+\sin y=}$

$3$\displaystyle{2\sin \frac{\hspace{2} x+y \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cos \frac{\hspace{2} x- y \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

となる。

<参照>
積和の公式

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