和積の公式4

和積の公式の導出(4)
$3$\displaystyle{ \cos x- \cos y= }$

$3$\displaystyle{- 2\sin \frac{\hspace{2} x+y \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sin \frac{\hspace{2} x- y \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

積和の公式

$3$\displaystyle{\sin {\alpha}\sin {\beta}=}$

$3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \{ \cos $ {\alpha}+{\beta} $ - \cos $ {\alpha}- {\beta} $ \} }$ ※

において，

$3$\displaystyle{{\alpha}=\frac{\hspace{2} x+y \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}},{\beta}=\frac{\hspace{2} x- y \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

とおいて代入すると，

$3$\displaystyle{\sin \frac{\hspace{2} x+y \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sin \frac{\hspace{2} x- y \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{\begin{array}{lll}=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \{\begin{array}{lll}\cos $ \frac{\hspace{2} x+y \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}+\frac{\hspace{2} x- y \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ & \vspace{6}\\ - \cos $ \frac{\hspace{2} x+y \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}- \frac{\hspace{2} x- y \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ & \vspace{6}\\ \end{array}\} & \vspace{6}\\ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ \cos x- \cos y $ & \vspace{6}\\ \end{array}}$

したがって，

$3$\displaystyle{\cos x- \cos y=}$

$3$\displaystyle{- 2\sin \frac{\hspace{2} x+y \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sin \frac{\hspace{2} x- y \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

となる。

<参照>
積和の公式

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