余弦定理の証明

三角形の頂点 $3$\text{C}$ から辺 $3$\text{AB}$ に垂線 $3$\text{CD}$ を引く。直角三角形 $3$\text{ACD}$ と直角三角形 $3$\text{BCD}$ ができる。(下図)

直角三角形 $3$\text{BCD}$ に三平方の定理を用いると，

$3$\displaystyle{ { \text{CB} }^{2}={ \text{CD} }^{2}+{ \text{BD} }^{\text{2}} }$ ･･･(1)

$3$\displaystyle{\text{CB}=a,\text{CD}=b\sin A}$

(参照)

$3$\displaystyle{\text{BD}=c- b\cos A}$ の関係を，(1)に代入すると

$3$\displaystyle{{a}^{2}={ $ b\sin A $ }^{2}+{ $ c- b\cos A $ }^{2}}$

$3$\displaystyle{\begin{array}{lll}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}={b}^{2}{\sin }^{2}A+{c}^{2}- & \vspace{6}\\ \text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}2cb\cos A+{b}^{2}{\cos }^{2}A& \vspace{6}\\ \end{array}}$

$3$\displaystyle{\begin{array}{lll}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}={b}^{2} $ { \sin }^{2}A+{ \cos }^{2}A $ +& \vspace{6}\\ \text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}{c}^{2}- 2cb\cos A& \vspace{6}\\ \end{array}}$

$3$\displaystyle{\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}={b}^{2}+{c}^{2}- 2bc\cos A}$

$3$\displaystyle{{}_\bullet\limits{ }^\bullet {}_\bullet {a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}- 2bc\cos A}$

( $3$\displaystyle{A=90^\circ }$ ，鈍角の場合の証明は省略)

同様にして，

$3$\displaystyle{{b}^{2}={c}^{2}+{a}^{2}- 2ca\cos B}$ (上図)

$3$\displaystyle{{c}^{2}={a}^{2}+{b}^{2}- 2ab\cos C}$ (上図)

も求められる。

戻る

[よ]
[や行]
[索引トップ]

[友達にこのページを紹介する]

【表示調整】
現在の水平表示画素数