内積の定義

■内積の定義

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ のなす角を $3${\theta}$ とするとき，

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }\cdot {b}\limits^{\rightarrow }= \|{a}\limits^{\rightarrow }\| \|{b}\limits^{\rightarrow }\| \cos {\theta}}$

を $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ の内積という。

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }\cdot {b}\limits^{\rightarrow }}$ 代わりに $3$\displaystyle{ $ {a}\limits^{\rightarrow },{b}\limits^{\rightarrow } $ }$ で表すこともある。

■内積の成分表示

●平面ベクトル（2次元）の場合

内積をベクトルの成分を用いて表す。

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }= $ \hspace{1}{a}_{1},\hspace{1}{a}_{2} $ }$ ， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }= $ \hspace{1}{b}_{1},\hspace{1}{b}_{2} $ }$ とすると，

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }\cdot {b}\limits^{\rightarrow }=\hspace{1}{a}_{1}\hspace{1}{b}_{1}+\hspace{1}{a}_{2}\hspace{1}{b}_{2}}$

となる。

●空間ベクトル（3次元）の場合

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }= $ \hspace{1}{a}_{1},\hspace{1}{a}_{2},\hspace{1}{a}_{3} $ }$ ， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }= $ \hspace{1}{b}_{1},\hspace{1}{b}_{2},\hspace{1}{b}_{3} $ }$ とすると，

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }\cdot {b}\limits^{\rightarrow }=\hspace{1}{a}_{1}\hspace{1}{b}_{1}+\hspace{1}{a}_{2}\hspace{1}{b}_{2}+\hspace{1}{a}_{3}\hspace{1}{b}_{3}}$

となる。

■内積の特徴

特に， $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ のなす角が90°のとき，

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }\cdot {b}\limits^{\rightarrow }=0}$ （ $3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{1}\hspace{1}{b}_{1}+\hspace{1}{a}_{2}\hspace{1}{b}_{2}=0}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{1}\hspace{1}{b}_{1}+\hspace{1}{a}_{2}\hspace{1}{b}_{2}+\hspace{1}{a}_{3}\hspace{1}{b}_{3}=0}$ ）

となる。　

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