ベクトルの大きさと2つのベクトルのなす角

■平面ベクトルの場合（2次元の場合）　

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }= $ \hspace{1}{a}_{1},\hspace{1}{a}_{2} $ }$ ， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }= $ \hspace{1}{b}_{1},\hspace{1}{b}_{2} $ }$ とすると（ただし， $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }\neq {0}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }\neq {0}\limits^{\rightarrow }}$ ），

●ベクトルの大きさ

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ の大きさを $3$\displaystyle{ \|{a}\limits^{\rightarrow }\| }$ と表す。

$3${ \|{a}\limits^{\rightarrow }\| }^{2}={a}\limits^{\rightarrow }\cdot {a}\limits^{\rightarrow }={ \hspace{1}{a}_{1} }^{2}+{ \hspace{1}{a}_{2} }^{2}$

●2つのベクトルのなす角

$3${a}\limits^{\rightarrow }$ と $3${b}\limits^{\rightarrow }$ のなす角を $3${\theta}$ $3$\displaystyle{ $ 0\leq {\theta}\leq 180^\circ $ }$ とすると，

$3$\displaystyle{\displaystyle{\begin{array}{lll}\cos {\theta}& \vspace{6}\\ =\frac{\hspace{2} {a}\limits^{\rightarrow }\cdot {b}\limits^{\rightarrow } \hspace{2}}{\hspace{2} \mid {a}\limits^{\rightarrow }\mid \mid {b}\limits^{\rightarrow }\mid \hspace{2}}& \vspace{6}\\ =\frac{\hspace{2} \hspace{1}{a}_{1}\hspace{1}{b}_{1}+ \hspace{1}{a}_{2}\hspace{1}{b}_{2} \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {\hspace{1}{a}_{1}}^{2}+ {\hspace{1}{a}_{2}}^{2} }\sqrt{ {\hspace{1}{b}_{1}}^{2}+ {\hspace{1}{b}_{2}}^{2} } \hspace{2}}& \vspace{6}\\ \end{array}}}$

■空間ベクトルの場合（3次元の場合）　

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }= $ \hspace{1}{a}_{1},\hspace{1}{a}_{2},\hspace{1}{a}_{3} $ }$ ， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }= $ \hspace{1}{b}_{1},\hspace{1}{b}_{2},\hspace{1}{b}_{3} $ }$ とすると（ただし， $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }\neq {0}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }\neq {0}\limits^{\rightarrow }}$ ），

●ベクトルの大きさ

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ の大きさを $3$\displaystyle{ \|{a}\limits^{\rightarrow }\| }$ と表す。

$3${ \|{a}\limits^{\rightarrow }\| }^{2}={a}\limits^{\rightarrow }\cdot {a}\limits^{\rightarrow }={ \hspace{1}{a}_{1} }^{2}+{ \hspace{1}{a}_{2} }^{2}+{ \hspace{1}{a}_{3} }^{2}$

●2つのベクトルのなす角

$3${a}\limits^{\rightarrow }$ と $3${b}\limits^{\rightarrow }$ のなす角を $3${\theta}$ $3$\displaystyle{ $ 0\leq {\theta}\leq 180^\circ $ }$ とすると，

$3$\displaystyle{\displaystyle{\begin{array}{lll}\cos {\theta}& \vspace{6}\\ =\frac{\hspace{2} {a}\limits^{\rightarrow }\cdot {b}\limits^{\rightarrow } \hspace{2}}{\hspace{2} \mid {a}\limits^{\rightarrow }\mid \mid {b}\limits^{\rightarrow }\mid \hspace{2}}& \vspace{6}\\ =\frac{\hspace{2} \hspace{1}{a}_{1}\hspace{1}{b}_{1}+ \hspace{1}{a}_{2}\hspace{1}{b}_{2}+ \hspace{1}{a}_{3}\hspace{1}{b}_{3} \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {\hspace{1}{a}_{1}}^{2}+ {\hspace{1}{a}_{2}}^{2}+ {\hspace{1}{a}_{3}}^{2} }\sqrt{ {\hspace{1}{b}_{1}}^{2}+ {\hspace{1}{b}_{2}}^{2}+ {\hspace{1}{b}_{3}}^{2} } \hspace{2}}& \vspace{6}\\ \end{array}}}$

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