積分(3)の1．(4)のヒント

$3$\displaystyle{\begin{array}{lll}\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2}- 9 \hspace{2}}& \vspace{6}\\ =3\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} $ x- 3 $ $ x+3 $ \hspace{2}}& \vspace{6}\\ =3 $ \frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2} x- 3 \hspace{2}}+\frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} x+3 \hspace{2}} $ & \vspace{6}\\ =3\cdot \frac{\hspace{2} a $ x+3 $ +b $ x- 3 $ \hspace{2}}{\hspace{2} $ x- 3 $ $ x+3 $ \hspace{2}}& \vspace{6}\\ =3\cdot \frac{\hspace{2} $ a+b $ x+3 $ a- b $ \hspace{2}}{\hspace{2} $ x- 3 $ $ x+3 $ \hspace{2}}& \vspace{6}\\ \end{array}}$

分子の係数を比較することにより， $3$a$ と $3$b$ の連立方程式を立てる。

$3$\displaystyle{ \{\begin{array}{lll}a+b=0& \vspace{6}\\ 3 $ a- b $ =1& \vspace{6}\\ \end{array} }$

これを解く。

　 $3$\displaystyle{b=- a}$ ， $3$\displaystyle{6a=1}$

よって，

　 $3$\displaystyle{a=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}}$ ， $3$\displaystyle{b=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}}$

以上より

$3$\displaystyle{\begin{array}{lll}\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2}- 9 \hspace{2}}& \vspace{6}\\ =3 $ \frac{\hspace{2} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}} \hspace{2}}{\hspace{2} x- 3 \hspace{2}}+\frac{\hspace{2} - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}} \hspace{2}}{\hspace{2} x- 3 \hspace{2}} $ & \vspace{6}\\ =3\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}} $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x- 3 \hspace{2}}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x- 3 \hspace{2}} $ & \vspace{6}\\ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x- 3 \hspace{2}}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x- 3 \hspace{2}} $ & \vspace{6}\\ \end{array}}$

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