積分(3)の1．(4)の解説

$3$\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2}- 9 \hspace{2}}dx }$

分母が因数分解できる。この場合は，部分分数に分解して積分する簡単にする。

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2}- 9 \hspace{2}}dx }=\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2}- {3}^{2} \hspace{2}}dx }}$

と式を変形すると，この公式

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2}+{a}^{2} \hspace{2}}dx }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}{\tan }^{ - 1 }\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}+C}$

のタイプと関数は似ているが，＋と－の符号に違いに注意すること。

また，この公式

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}dx }=\log \|x\| +C}$

を使って，

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2}+9 \hspace{2}}dx }=\log \| {x}^{2}+9 \| +C}$

としないこと。

$3$\displaystyle{\log \| {x}^{2}+9 \| }$ を微分しても $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2}+9 \hspace{2}}}$ にならない。合成関数の微分を参照のこと

$3$\displaystyle{\begin{array}{lll}{ \{ \log \| {x}^{2}+9 \| \} }^{\prime }& \vspace{6}\\ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2}+9 \hspace{2}}\cdot { \{ {x}^{2}+9 \} }^{\prime }& \vspace{6}\\ =\frac{\hspace{2} 2x \hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2}+9 \hspace{2}}& \vspace{6}\\ \end{array}}$

⇒詳解1
⇒ヒント1
⇒積分(3)のTOPへ戻る