積分(4)の1．(2)のヒント

$3$\displaystyle{\begin{array}{lll}\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} $ x- 2 $ $ x+3 $ \hspace{2}}& \vspace{6}\\ =\frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2} x- 2 \hspace{2}}+\frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} x+3 \hspace{2}}& \vspace{6}\\ \end{array}}$

とおく。 $3$a$ ， $3$b$ は定数。次に，左辺を通分して整理する。

$3$\displaystyle{\begin{array}{lll}=\frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2} x- 2 \hspace{2}}+\frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} x+3 \hspace{2}}& \vspace{6}\\ \frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2} x- 2 \hspace{2}}+\frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} x+3 \hspace{2}}& \vspace{6}\\ =\frac{\hspace{2} a $ x+3 $ +b $ x- 2 $ \hspace{2}}{\hspace{2} $ x- 2 $ $ x+3 $ \hspace{2}}& \vspace{6}\\ =\frac{\hspace{2} $ a+b $ x+3a- 2b \hspace{2}}{\hspace{2} $ x- 2 $ $ x+3 $ \hspace{2}}& \vspace{6}\\ \end{array}}$

分母は $3$1$ でなければならない。よって，

$3$\displaystyle{ \{\begin{array}{lll}a+b=0& \vspace{6}\\ 3a- 2b=1& \vspace{6}\\ \end{array} }$

となる。この連立方程式を解く。

$3$\displaystyle{a=- b}$

$3$\displaystyle{3 $ - b $ - 2b=1}$

$3$\displaystyle{- 5b=1}$

$3$\displaystyle{b=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}}$ ， $3$\displaystyle{a=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}}$

したがって

$3$\displaystyle{\begin{array}{lll}\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} $ x- 2 $ $ x+3 $ \hspace{2}}& \vspace{6}\\ =\frac{\hspace{2} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}} \hspace{2}}{\hspace{2} x- 2 \hspace{2}}+\frac{\hspace{2} - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}} \hspace{2}}{\hspace{2} x+3 \hspace{2}}& \vspace{6}\\ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}} $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x- 2 \hspace{2}}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x+3 \hspace{2}} $ & \vspace{6}\\ \end{array}}$

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後は，積分の線形性を利用して，この公式を使って計算する。

この問題を参考にする。

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