ガウスの法則 (Gauss's law) 微分形

ガウスの定理(1)式で，${\displaystyle A}$ を電場ベクトル ${\displaystyle E}$ とすれば，

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_{S}E\cdot dS=}{\displaystyle {\int }_V\text{div}EdV}}$

これをガウスの法則の積分形に用いると，

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_V\text{div}EdV}=\frac{Q}{{\epsilon }_0}=\frac{1}{{\epsilon }_0}{\displaystyle {\int }_V\rho \left(r\right)dV}}$

ただし，${\displaystyle \rho \left(r\right)}$ は位置 ${\displaystyle r}$ における電荷密度である．積分領域 ${\displaystyle V}$ は ${\displaystyle E}$ が定義された領域内で任意に取れるので，点 ${\displaystyle r}$ を含む微小領域と考えれば，

${\displaystyle \text{div}E\left(r\right)=\frac{1}{{\epsilon }_0}\rho \left(r\right)}$

が得られる．これがガウスの法則の微分形である．

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学生スタッフ作成

2024年9月25日