関連するページを見るにはこのグラフ図を利用してください．

減衰振動 ： 散逸関数 (dissipation function)

${\displaystyle x}$ 軸上を減衰振動する質量 ${\displaystyle m}$の質点には，その位置 ${\displaystyle x}$ に比例した復元力 ${\displaystyle F=-cx}$ （ ${\displaystyle c}$ ：正定数）が作用する．この力は保存力であり， ${\displaystyle x=0}$  を基準点とした位置エネルギー  ${\displaystyle U(x)=\frac{1}{2}c{x}^2}$  から

${\displaystyle F=-\frac{dU}{dx}}$ ${\displaystyle =-cx}$     - - - (1)

と求まる．質点の速度 ${\displaystyle v}$ に比例した抵抗力 ${\displaystyle f=-bv}$ （ ${\displaystyle b}$ ：正定数）についても，ある関数 ${\displaystyle D(v)}$ から

${\displaystyle f=-\frac{dD}{dv}}$ ${\displaystyle =-bv}$     - - - (2)

と求まるように書くことができ，このとき  ${\displaystyle D(v)=\frac{1}{2}b{v}^2+C}$ （ ${\displaystyle C}$ ：任意定数）と表される．ここで， ${\displaystyle v=0}$  の場合に  ${\displaystyle D(0)=C=0}$  としたときの関数

${\displaystyle D(v)=\frac{1}{2}b{v}^2}$     - - - (3)

を 散逸関数 (dissipation function) と呼ぶ．この減衰振動する系の力学的エネルギーは

${\displaystyle E=\frac{1}{2}m{v}^2+U(x)}$ ${\displaystyle =\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}c{x}^2}$     - - - (4)

であり，力学的エネルギーの時間についての導関数は

${\displaystyle \frac{dE}{dt}=\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}c{x}^2\right)}$ ${\displaystyle =mv\frac{dv}{dt}+cx\frac{dx}{dt}}$ ${\displaystyle =mv\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+cxv}$ ${\displaystyle =v\left(m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+cx\right)}$     - - - (5)

となる．減衰振動する質点の運動方程式は

${\displaystyle m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-cx-bv}$     ⇒     ${\displaystyle m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+cx=-bv}$     - - - (6)

であるので，式(6)を式(5)に代入すると

${\displaystyle \frac{dE}{dt}=v(-bv)}$ ${\displaystyle =-b{v}^2}$ ${\displaystyle =-2D}$     - - - (7)

が得られる．これは，系の力学的エネルギーが変化する速さが，散逸関数 ${\displaystyle D}$ の−2倍で与えられることを意味する． ${\displaystyle D\ge 0}$  なので，時間の経過とともに力学的エネルギーは減少する．すなわち，散逸関数は系のエネルギー散逸の度合いを決める．

${\displaystyle {\omega }_0=\sqrt{c/m}}$  と ${\displaystyle \gamma =b/2m}$  の関係に応じた3つの場合について散逸関数の式を求める：

(i)  ${\displaystyle \gamma <{\omega }_0}$ の場合（不足減衰）

位置：  ${\displaystyle x=A{e}^{-\gamma t}\cos (\omega t+\alpha )}$     （ ${\displaystyle A}$ ， ${\displaystyle \alpha }$ ：定数）     - - - (8)

速度：  ${\displaystyle v=\frac{dx}{dt}}$ ${\displaystyle =-A{e}^{-\gamma t}\left\{\gamma \cos (\omega t+\alpha )+\omega \sin (\omega t+\alpha )\right\}}$ ${\displaystyle =-A{\omega }_0{e}^{-\gamma t}\cos (\omega t+\beta )}$     - - - (9)

ここで， ${\displaystyle \beta }$ は次の2式を満たす角度である．

${\displaystyle \cos (\alpha -\beta )=\frac{\gamma }{{\omega }_0}}$   ，   ${\displaystyle \sin (\alpha -\beta )=\frac{\omega }{{\omega }_0}}$

⇒   ${\displaystyle v^2=A^2{\omega }_0^2{e}^{-2\gamma t}{\cos }^2(\omega t+\beta )}$ ${\displaystyle =\frac{1}{2}{A}^2{\omega }_0^2{e}^{-2\gamma t}\{1+\cos 2(\omega t+\beta )\}}$

散逸関数：

${\displaystyle D(t)=\frac{1}{4}b{A}^2{\omega }_0^2{e}^{-2\gamma t}\{1+\cos 2(\omega t+\beta )\}}$     - - - (10)

例として， ${\displaystyle m=1.0\text{kg}}$ ， ${\displaystyle {\omega }_0=0.30{\text{s}}^{\text{-1}}}$ ， ${\displaystyle \gamma =0.084{\text{s}}^{-1}}$ ，初期条件 ${\displaystyle x_0=1.0\text{m}}$ ，${\displaystyle v_0=0\text{m/s}}$  の場合について，減衰振動する質点の位置 ${\displaystyle x(t)}$ と散逸関数 ${\displaystyle D(t)}$ のグラフを示す．この場合， ${\displaystyle \omega =0.288{\text{s}}^{\text{-1}}}$ ， ${\displaystyle \beta =-\pi /2}$ である．

(ii)  ${\displaystyle \gamma >{\omega }_0}$ の場合（過減衰）

位置：  ${\displaystyle x=e^{-\gamma t}\left(c_1{e}^{\eta t}+c_2{e}^{-\eta t}\right)}$     （ ${\displaystyle c_1}$ ， ${\displaystyle c_2}$ ：定数）     - - - (11)

速度：  ${\displaystyle v=\frac{dx}{dt}=-e^{-\gamma t}\left\{(\gamma -\eta )c_1{e}^{\eta t}+(\gamma +\eta )c_2{e}^{-\eta t}\right\}}$     - - - (12)

⇒   ${\displaystyle v^2=e^{-2\gamma t}{\left\{(\gamma -\eta )c_1{e}^{\eta t}+(\gamma +\eta )c_2{e}^{-\eta t}\right\}}^2}$
          ${\displaystyle =e^{-2\gamma t}\{{(\gamma -\eta )}^2{c}_1^2{e}^{2\eta t}+{(\gamma +\eta )}^2{c}_2^2{e}^{-2\eta t}+2{\omega }_0^2{c}_1{c}_2\}}$

散逸関数：

${\displaystyle D(t)=\frac{1}{2}b{e}^{-2\gamma t}\{{(\gamma -\eta )}^2{c}_1^2{e}^{2\eta t}+{(\gamma +\eta )}^2{c}_2^2{e}^{-2\eta t}+2{\omega }_0^2{c}_1{c}_2\}}$     - - - (13)

(iii)  ${\displaystyle \gamma ={\omega }_0}$ の場合（臨界減衰）

位置：  ${\displaystyle x=\left(c_1+c_{2}t\right)e^{-\gamma t}}$     （ ${\displaystyle c_1}$ ， ${\displaystyle c_2}$ ：定数）     - - - (14)

速度：  ${\displaystyle v=\frac{dx}{dt}=\left\{c_2-\gamma (c_1+c_{2}t)\right\}{e}^{-\gamma t}}$     - - - (15)

⇒   ${\displaystyle v^2={\left\{c_2-\gamma (c_1+c_{2}t)\right\}}^2{e}^{-2\gamma t}}$
          ${\displaystyle =e^{-2\gamma t}\{c_2^2-2c_2\gamma (c_1+c_{2}t)+{\gamma }^2{(c_1+c_{2}t)}^2\}}$

散逸関数：

${\displaystyle D(t)=\frac{1}{2}b{e}^{-2\gamma t}\{c_2^2-2c_2\gamma (c_1+c_{2}t)+{\gamma }^2{(c_1+c_{2}t)}^2\}}$     - - - (16)

ホーム>>カテゴリー分類>>力学>>質点の力学>>減衰振動>>散逸関数

[ページトップ]

利用規約

google translate (English version)