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減衰振動 : 力学的エネルギー (mechanical energy)

x 軸上を単振動する質量 m の質点に速度 v= dx / dt に比例する抵抗力が作用するときの運動方程式

m d2x dt2 =cx bv     ( c b :正定数)     - - - (1)

に従う減衰振動では,質点の運動エネルギー  K=12 mv2  と  x=0  を基準点とした位置エネルギー  U=12 cx2  との和である力学的エネルギー

E=K+U = 12 mv2 + 12 cx2     - - - (2)

が,抵抗力の作用により時間の経過とともに減少するため保存しない(散逸関数). ω0= c/m  と γ= b/2m  の関係に応じた3つの場合(不足減衰過減衰臨界減衰)について,この力学的エネルギーを考える:

(i)  γ< ω0 の場合(不足減衰

位置:  x=A eγt cos(ωt+α)     ( A α :定数)     - - - (3)

速度:  v= dx dt =A eγt { γcos (ωt+α) + ωsin (ωt+α) } =Aω0 eγt cos (ωt+β)     - - - (4)

ここで, β は次の2式を満たす角度である.

cos(αβ) = γω0   ,   sin(αβ) = ωω0

運動エネルギー:  K=12 mv2 =12mA2 ω02 e2γt cos2 (ωt+β) =14cA2 e2γt { 1+cos2 (ωt+β) }     - - - (5)

位置エネルギー:  U=12 cx2 =12cA2 e2γt cos2 (ωt+α) =14cA2 e2γt { 1+cos2 (ωt+α) }     - - - (6)

力学的エネルギー:

E(t)= 14cA2 e2γt { 2+ cos2 (ωt+α) + cos2 (ωt+β) }
        = 12cA2 e2γt { 1+ cos ( 2ωt+α+β ) cos (αβ) }
        = 12cA2 e2γt { 1+ γω0 cos ( 2ωt+α+β ) }     - - - (7)

例として, m=1.0kg ω0 =0.30 s-1 γ=0.084 s1 ,初期条件 x0= 1.0m v0= 0m/s  の場合について,質点の位置 x(t) と力学的エネルギー E(t) のグラフを示す.この場合, c=0.090 N/m ω=0.288 s-1 β=π/2 である.

2つの新たな変数 X V を次のように定義する.

X c2 x = E0 eγt cos ( ωt+α )     - - - (8)
V m2 v = E0 eγt cos ( ωt+β )     - - - (9)

ここで, E0 = mω02 A2 /2 = cA2 /2 である.式 (5),(6) より  V2 =K X2 =U  なので,

X2 + V2 = E(t)     - - - (10)

となり, E(t) の値は時間とともに減少するので, XV 平面(規格化された位置 X と速度 V の位相空間)において,点 P (X,V) は原点に収束していく渦巻曲線を描く(図は上の例の場合の渦巻曲線を示す).

V= dX dt  および式 (1) より  dV dt = ω02X 2γV  なので,

dV dX = dV/dt dX/dt = ω02 XV+2γ     - - - (11)

となる.したがって,原点から引いた直線( 比 X/V が一定 )と渦巻曲線との交点における接線の傾きは,どの交点でも同じになる.


(ii)  γ> ω0 の場合(過減衰

位置:  x= eγt ( c1 eηt + c2 eηt )     ( c1 c2 :定数)     - - - (12)

速度:  v= dx dt = eγt { (γη) c1 eηt + (γ+η) c2 eηt }     - - - (13)

運動エネルギー:  K=12 mv2 =12m e2γt { (γη) c1 eηt + (γ+η) c2 eηt }2
                                  =12m e2γt { (γη) 2 c12 e2ηt + (γ+η) 2 c22 e2ηt +2ω02 c1c2 }
                                  =12c e2γt { ( γη ω0 ) 2 c12 e2ηt + ( γ+η ω0 ) 2 c22 e2ηt +2c1c2 }     - - - (14)

位置エネルギー:  U=12 cx2 =12c e2γt ( c1 eηt + c2 eηt ) 2
                                  =12c e2γt ( c12 e2ηt + c22 e2ηt +2c1c2 )     - - - (15)

力学的エネルギー:

E(t)= 12c e2γt [ { ( γη ω0 ) 2 +1 } c12 e2ηt + { ( γ+η ω0 ) 2 +1 } c22 e2ηt +4c1c2 ]
        =c e2γt { γω0 ( γη ω0 ) c12 e2ηt + γω0 ( γ+η ω0 ) c22 e2ηt +2c1c2 }     - - - (16)

例として, m=1.0kg ω0 =0.30 s-1 γ=0.78 s1 ,初期条件 x0= 1.0m v0= 0m/s  の場合について,質点の位置 x(t) と力学的エネルギー E(t) のグラフを示す.この場合, c=0.090 N/m η=0.72 s-1 である.

2つの新たな変数 X V

X c2 x  ,  V m2 v

と定義すると,

X2 + V2 = E(t)

となり, XV 平面(規格化された位置 X と速度 V の位相空間)において,点 P (X,V) は図のような曲線を描き,速やかに原点に収束していく(図は上の例の場合).


(iii)  γ= ω0 の場合(臨界減衰

位置:  x= ( c1 + c2t ) eγt     ( c1 c2 :定数)     - - - (17)

速度:  v= dx dt = { γ( c1 + c2 t) c2 } eγt     - - - (18)

運動エネルギー:  K=12 mv2 =12m { γ( c1 + c2 t) c2 }2 e2γt
                                  =12m e2γt { γ2 ( c1 + c2 t ) 2 2γc2 ( c1 + c2 t) +c22 }
                                  =12c e2γt { ( c1 + c2 t ) 2 2 c2ω0 ( c1 + c2 t) + ( c2ω0 ) 2 }     - - - (19)

位置エネルギー:  U=12 cx2 =12c ( c1 + c2t ) 2 e2γt     - - - (20)

力学的エネルギー:

E(t)= 12c e2γt { 2 ( c1 + c2 t ) 2 2 c2ω0 ( c1 + c2 t) + ( c2ω0 ) 2 }
        =c e2γt { ( c1 + c2 t ) 2 c2ω0 ( c1 + c2 t) + 12 ( c2ω0 ) 2 }     - - - (21)

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