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減衰振動 ： 力学的エネルギー (mechanical energy)

${\displaystyle x}$ 軸上を単振動する質量 ${\displaystyle m}$ の質点に速度 ${\displaystyle v=dx/dt}$ に比例する抵抗力が作用するときの運動方程式

${\displaystyle m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-cx-bv}$     （ ${\displaystyle c}$ ， ${\displaystyle b}$ ：正定数）     - - - (1)

に従う減衰振動では，質点の運動エネルギー  ${\displaystyle K=\frac{1}{2}m{v}^2}$  と  ${\displaystyle x=0}$  を基準点とした位置エネルギー  ${\displaystyle U=\frac{1}{2}c{x}^2}$  との和である力学的エネルギー

${\displaystyle E=K+U}$ ${\displaystyle =\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}c{x}^2}$     - - - (2)

が，抵抗力の作用により時間の経過とともに減少するため保存しない（散逸関数）． ${\displaystyle {\omega }_0=\sqrt{c/m}}$  と ${\displaystyle \gamma =b/2m}$  の関係に応じた3つの場合（不足減衰，過減衰，臨界減衰）について，この力学的エネルギーを考える：

(i)  ${\displaystyle \gamma <{\omega }_0}$ の場合（不足減衰）

位置：  ${\displaystyle x=A{e}^{-\gamma t}\cos (\omega t+\alpha )}$     （ ${\displaystyle A}$ ， ${\displaystyle \alpha }$ ：定数）     - - - (3)

速度：  ${\displaystyle v=\frac{dx}{dt}}$ ${\displaystyle =-A{e}^{-\gamma t}\left\{\gamma \cos (\omega t+\alpha )+\omega \sin (\omega t+\alpha )\right\}}$ ${\displaystyle =-A{\omega }_0{e}^{-\gamma t}\cos (\omega t+\beta )}$     - - - (4)

ここで， ${\displaystyle \beta }$ は次の2式を満たす角度である．

${\displaystyle \cos (\alpha -\beta )=\frac{\gamma }{{\omega }_0}}$   ，   ${\displaystyle \sin (\alpha -\beta )=\frac{\omega }{{\omega }_0}}$

運動エネルギー：  ${\displaystyle K=\frac{1}{2}m{v}^2}$ ${\displaystyle =\frac{1}{2}m{A}^2{\omega }_0^2{e}^{-2\gamma t}{\cos }^2(\omega t+\beta )}$ ${\displaystyle =\frac{1}{4}c{A}^2{e}^{-2\gamma t}\{1+\cos 2(\omega t+\beta )\}}$     - - - (5)

位置エネルギー：  ${\displaystyle U=\frac{1}{2}c{x}^2}$ ${\displaystyle =\frac{1}{2}c{A}^2{e}^{-2\gamma t}{\cos }^2(\omega t+\alpha )}$ ${\displaystyle =\frac{1}{4}c{A}^2{e}^{-2\gamma t}\{1+\cos 2(\omega t+\alpha )\}}$     - - - (6)

力学的エネルギー：

${\displaystyle E(t)=\frac{1}{4}c{A}^2{e}^{-2\gamma t}\{2+\cos 2(\omega t+\alpha )+\cos 2(\omega t+\beta )\}}$
        ${\displaystyle =\frac{1}{2}c{A}^2{e}^{-2\gamma t}\{1+\cos (2\omega t+\alpha +\beta )\cos (\alpha -\beta )\}}$
        ${\displaystyle =\frac{1}{2}c{A}^2{e}^{-2\gamma t}\{1+\frac{\gamma }{{\omega }_0}\cos (2\omega t+\alpha +\beta )\}}$     - - - (7)

例として， ${\displaystyle m=1.0\text{kg}}$ ， ${\displaystyle {\omega }_0=0.30{\text{s}}^{\text{-1}}}$ ， ${\displaystyle \gamma =0.084{\text{s}}^{-1}}$ ，初期条件 ${\displaystyle x_0=1.0\text{m}}$ ，${\displaystyle v_0=0\text{m/s}}$  の場合について，質点の位置 ${\displaystyle x(t)}$ と力学的エネルギー ${\displaystyle E(t)}$ のグラフを示す．この場合， ${\displaystyle c=0.090\text{N/m}}$ ， ${\displaystyle \omega =0.288{\text{s}}^{\text{-1}}}$ ， ${\displaystyle \beta =-\pi /2}$ である．

2つの新たな変数 ${\displaystyle X}$ ， ${\displaystyle V}$ を次のように定義する．

${\displaystyle X\equiv \sqrt{\frac{c}{2}}x}$ ${\displaystyle =\sqrt{E_0}{e}^{-\gamma t}\cos (\omega t+\alpha )}$     - - - (8)
${\displaystyle V\equiv -\sqrt{\frac{m}{2}}v}$ ${\displaystyle =\sqrt{E_0}{e}^{-\gamma t}\cos (\omega t+\beta )}$     - - - (9)

ここで， ${\displaystyle E_0=m{\omega }_0^2{A}^2/2=c{A}^2/2}$ である．式 (5)，(6) より  ${\displaystyle V^2=K}$ ， ${\displaystyle X^2=U}$  なので，

${\displaystyle X^2+V^2=E(t)}$     - - - (10)

となり， ${\displaystyle E(t)}$ の値は時間とともに減少するので， ${\displaystyle XV}$ 平面（規格化された位置 ${\displaystyle X}$ と速度 ${\displaystyle V}$ の位相空間）において，点 P ${\displaystyle (X,V)}$ は原点に収束していく渦巻曲線を描く（図は上の例の場合の渦巻曲線を示す）．

${\displaystyle V=-\frac{dX}{dt}}$  および式 (1) より  ${\displaystyle \frac{dV}{dt}={\omega }_0^{2}X-2\gamma V}$  なので，

${\displaystyle \frac{dV}{dX}=\frac{dV/dt}{dX/dt}=-{\omega }_0^2\frac{X}{V}+2\gamma }$     - - - (11)

となる．したがって，原点から引いた直線（ 比 ${\displaystyle X/V}$ が一定 ）と渦巻曲線との交点における接線の傾きは，どの交点でも同じになる．

(ii)  ${\displaystyle \gamma >{\omega }_0}$ の場合（過減衰）

位置：  ${\displaystyle x=e^{-\gamma t}\left(c_1{e}^{\eta t}+c_2{e}^{-\eta t}\right)}$     （ ${\displaystyle c_1}$ ， ${\displaystyle c_2}$ ：定数）     - - - (12)

速度：  ${\displaystyle v=\frac{dx}{dt}=-e^{-\gamma t}\left\{(\gamma -\eta )c_1{e}^{\eta t}+(\gamma +\eta )c_2{e}^{-\eta t}\right\}}$     - - - (13)

運動エネルギー：  ${\displaystyle K=\frac{1}{2}m{v}^2}$ ${\displaystyle =\frac{1}{2}m{e}^{-2\gamma t}{\left\{(\gamma -\eta )c_1{e}^{\eta t}+(\gamma +\eta )c_2{e}^{-\eta t}\right\}}^2}$
                                  ${\displaystyle =\frac{1}{2}m{e}^{-2\gamma t}\{{(\gamma -\eta )}^2{c}_1^2{e}^{2\eta t}+{(\gamma +\eta )}^2{c}_2^2{e}^{-2\eta t}+2{\omega }_0^2{c}_1{c}_2\}}$
                                  ${\displaystyle =\frac{1}{2}c{e}^{-2\gamma t}\{{\left(\frac{\gamma -\eta }{{\omega }_0}\right)}^2{c}_1^2{e}^{2\eta t}+{\left(\frac{\gamma +\eta }{{\omega }_0}\right)}^2{c}_2^2{e}^{-2\eta t}+2c_1{c}_2\}}$     - - - (14)

位置エネルギー：  ${\displaystyle U=\frac{1}{2}c{x}^2}$ ${\displaystyle =\frac{1}{2}c{e}^{-2\gamma t}{\left(c_1{e}^{\eta t}+c_2{e}^{-\eta t}\right)}^2}$
                                  ${\displaystyle =\frac{1}{2}c{e}^{-2\gamma t}(c_1^2{e}^{2\eta t}+c_2^2{e}^{-2\eta t}+2c_1{c}_2)}$     - - - (15)

力学的エネルギー：

${\displaystyle E(t)=\frac{1}{2}c{e}^{-2\gamma t}\left[\right\{{\left(\frac{\gamma -\eta }{{\omega }_0}\right)}^2+1\}{c}_1^2{e}^{2\eta t}+\{{\left(\frac{\gamma +\eta }{{\omega }_0}\right)}^2+1\}{c}_2^2{e}^{-2\eta t}+4c_1{c}_2]}$
        ${\displaystyle =c{e}^{-2\gamma t}\left\{\frac{\gamma }{{\omega }_0}\right(\frac{\gamma -\eta }{{\omega }_0})c_1^2{e}^{2\eta t}+\frac{\gamma }{{\omega }_0}(\frac{\gamma +\eta }{{\omega }_0})c_2^2{e}^{-2\eta t}+2c_1{c}_2\}}$     - - - (16)

例として， ${\displaystyle m=1.0\text{kg}}$ ， ${\displaystyle {\omega }_0=0.30{\text{s}}^{\text{-1}}}$ ， ${\displaystyle \gamma =0.78{\text{s}}^{-1}}$ ，初期条件 ${\displaystyle x_0=1.0\text{m}}$ ，${\displaystyle v_0=0\text{m/s}}$  の場合について，質点の位置 ${\displaystyle x(t)}$ と力学的エネルギー ${\displaystyle E(t)}$ のグラフを示す．この場合， ${\displaystyle c=0.090\text{N/m}}$ ， ${\displaystyle \eta =0.72{\text{s}}^{\text{-1}}}$ である．

2つの新たな変数 ${\displaystyle X}$ ， ${\displaystyle V}$ を

${\displaystyle X\equiv \sqrt{\frac{c}{2}}x}$  ，  ${\displaystyle V\equiv -\sqrt{\frac{m}{2}}v}$

と定義すると，

${\displaystyle X^2+V^2=E(t)}$

となり， ${\displaystyle XV}$ 平面（規格化された位置 ${\displaystyle X}$ と速度 ${\displaystyle V}$ の位相空間）において，点 P ${\displaystyle (X,V)}$ は図のような曲線を描き，速やかに原点に収束していく（図は上の例の場合）．

(iii)  ${\displaystyle \gamma ={\omega }_0}$ の場合（臨界減衰）

位置：  ${\displaystyle x=\left(c_1+c_{2}t\right)e^{-\gamma t}}$     （ ${\displaystyle c_1}$ ， ${\displaystyle c_2}$ ：定数）     - - - (17)

速度：  ${\displaystyle v=\frac{dx}{dt}=-\left\{\gamma (c_1+c_{2}t)-c_2\right\}{e}^{-\gamma t}}$     - - - (18)

運動エネルギー：  ${\displaystyle K=\frac{1}{2}m{v}^2}$ ${\displaystyle =\frac{1}{2}m{\left\{\gamma (c_1+c_{2}t)-c_2\right\}}^2{e}^{-2\gamma t}}$
                                  ${\displaystyle =\frac{1}{2}m{e}^{-2\gamma t}\{{\gamma }^2{(c_1+c_{2}t)}^2-2\gamma c_2(c_1+c_{2}t)+c_2^2\}}$
                                  ${\displaystyle =\frac{1}{2}c{e}^{-2\gamma t}\{{(c_1+c_{2}t)}^2-2\frac{c_2}{{\omega }_0}(c_1+c_{2}t)+{\left(\frac{c_2}{{\omega }_0}\right)}^2\}}$     - - - (19)

位置エネルギー：  ${\displaystyle U=\frac{1}{2}c{x}^2}$ ${\displaystyle =\frac{1}{2}c{\left(c_1+c_{2}t\right)}^2{e}^{-2\gamma t}}$     - - - (20)

力学的エネルギー：

${\displaystyle E(t)=\frac{1}{2}c{e}^{-2\gamma t}\{{2(c_1+c_{2}t)}^2-2\frac{c_2}{{\omega }_0}(c_1+c_{2}t)+{\left(\frac{c_2}{{\omega }_0}\right)}^2\}}$
        ${\displaystyle =c{e}^{-2\gamma t}\{{(c_1+c_{2}t)}^2-\frac{c_2}{{\omega }_0}(c_1+c_{2}t)+\frac{1}{2}{\left(\frac{c_2}{{\omega }_0}\right)}^2\}}$     - - - (21)

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