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減衰振動 ： 過減衰 (over damping)

${\displaystyle x}$ 軸上を単振動する質量 ${\displaystyle m}$ の質点に速度 ${\displaystyle v=dx/dt}$ に比例する抵抗力が作用するときの運動方程式

${\displaystyle m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-cx-bv}$     （ ${\displaystyle c}$ ， ${\displaystyle b}$ ：正定数）     - - - (1)

において，単振動の角振動数 ${\displaystyle {\omega }_0=\sqrt{c/m}}$  と減衰率 ${\displaystyle \gamma =b/2m}$  を導入して整理すると，定数係数の2階同次線形微分方程式

${\displaystyle \frac{d^{2}x}{d{t}^2}+2\gamma \frac{dx}{dt}+{\omega }_0^{2}x=0}$     - - - (2)

が得られる．この特性方程式  ${\displaystyle {\lambda }^2+2\gamma \lambda +{\omega }_0^2=0}$  の解  ${\displaystyle \lambda =-\gamma \pm \sqrt{{\gamma }^2-{\omega }_0^2}}$  は，抵抗が比較的大きくて ${\displaystyle \gamma >{\omega }_0}$  ならば2つの異なる実数根となり，この場合を過減衰 (over damping) という． ${\displaystyle \eta =\sqrt{{\gamma }^2-{\omega }_0^2}}$  とおくと，式(2)の一般解は

${\displaystyle x=e^{-\gamma t}\left(c_1{e}^{\eta t}+c_2{e}^{-\eta t}\right)}$     （ ${\displaystyle c_1}$ ， ${\displaystyle c_2}$ ：任意定数）     - - - (3)

で与えられ， ${\displaystyle \eta <\gamma }$  なので ${\displaystyle t}$ が無限に大きくなるとゼロに近づく．この解は振動せずに釣り合いの位置（ ${\displaystyle x=0}$ ）に収束する非周期的減衰 (aperiodic damping) を示す．質点の速度は

${\displaystyle v=\frac{dx}{dt}=-e^{-\gamma t}\left\{(\gamma -\eta )c_1{e}^{\eta t}+(\gamma +\eta )c_2{e}^{-\eta t}\right\}}$     - - - (4)

であり，初期条件として， ${\displaystyle x(0)=x_0}$ ， ${\displaystyle v(0)=v_0}$  を考えると，任意定数 ${\displaystyle c_1}$ と ${\displaystyle c_2}$ は

${\displaystyle c_1=\frac{(\gamma +\eta )x_0+v_0}{2\eta }}$   ，   ${\displaystyle c_2=-\frac{(\gamma -\eta )x_0+v_0}{2\eta }}$     - - - (5)

を満たすように決定される．

${\displaystyle \gamma =0.2{\text{s}}^{\text{-1}}}$ ， ${\displaystyle \eta =0.1{\text{s}}^{\text{-1}}}$  として，正の初期位置（ ${\displaystyle x_0=1.0\text{m}}$ ）と負の初期位置（ ${\displaystyle x_0=-1.0\text{m}}$ ）の場合について，各々4通りの初期速度で計算した過減衰のグラフを下図に示す．

  

式(3)において， ${\displaystyle x=0}$  となる時刻は， ${\displaystyle c_1{e}^{\eta t}+c_2{e}^{-\eta t}=0}$    ⇒    ${\displaystyle e^{2\eta t}=-c_2/c_1}$  より

${\displaystyle t=\frac{1}{2\eta }\log \left(-\frac{c_2}{c_1}\right)}$     - - - (6)

となる． ${\displaystyle t\ge 0}$  なので， ${\displaystyle c_2/c_1\le -1}$  であれば必ず一度釣り合いの位置（ ${\displaystyle x=0}$ ）を通過し， ${\displaystyle c_2/c_1>-1}$  であれば一度も釣り合いの位置を通過しない．

また，式(4)において，速度 ${\displaystyle v=0}$ とおくと位置 ${\displaystyle x}$ が極大または極小になるときの時刻が得られる．その時刻は， ${\displaystyle (-\gamma +\eta )c_1{e}^{\eta t}+(-\gamma -\eta )c_2{e}^{-\eta t}=0}$    ⇒    ${\displaystyle e^{2\eta t}=-(\gamma +\eta )c_2/(\gamma -\eta )c_1}$  より

${\displaystyle t=\frac{1}{2\eta }\log \left\{-\frac{(\gamma +\eta )c_2}{(\gamma -\eta )c_1}\right\}}$     - - - (7)

となる． ${\displaystyle t\ge 0}$  なので，

${\displaystyle \frac{(\gamma +\eta )c_2}{(\gamma -\eta )c_1}\le -1}$

であれば，位置 ${\displaystyle x}$ がどこかの時点で極大または極小となる．

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