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減衰振動 ： 微分方程式の解法 (solution of differential equation)

減衰振動の従う微分方程式

${\displaystyle \frac{d^{2}x}{d{t}^2}+2\gamma \frac{dx}{dt}+{\omega }_0^{2}x=0}$      （ ${\displaystyle \gamma }$ ， ${\displaystyle {\omega }_0}$ ：正定数）     - - - (1)

の一般解を求める：  解法1  解法2  （初期値問題は ⇒）

解法1

式(1)は定数係数の2階同次線形微分方程式であるので，解を ${\displaystyle x=e^{\lambda t}}$  とおくと， ${\displaystyle dx/dt=\lambda e^{\lambda t}}$ ， ${\displaystyle d^{2}x/d{t}^2={\lambda }^2{e}^{\lambda t}}$  より

${\displaystyle \frac{d^{2}x}{d{t}^2}+2\gamma \frac{dx}{dt}+{\omega }_0^{2}x}$ ${\displaystyle ={\lambda }^2{e}^{\lambda t}+2\gamma \lambda e^{\lambda t}+{\omega }_0^2{e}^{\lambda t}}$ ${\displaystyle =({\lambda }^2+2\gamma \lambda +{\omega }_0^2)e^{\lambda t}=0}$

となり， ${\displaystyle e^{\lambda t}\ne 0}$  から，特性方程式

${\displaystyle {\lambda }^2+2\gamma \lambda +{\omega }_0^2=0}$     - - - (2)

を得る．この特性方程式の解は

${\displaystyle \lambda =-\gamma \pm \sqrt{{\gamma }^2-{\omega }_0^2}}$     - - - (3)

となり， ${\displaystyle {\lambda }_1=-\gamma +\sqrt{{\gamma }^2-{\omega }_0^2}}$ ， ${\displaystyle {\lambda }_2=-\gamma -\sqrt{{\gamma }^2-{\omega }_0^2}}$   とおくと，式(1)の一般解は2つの独立な解 ${\displaystyle e^{{\lambda }_{1}t}}$ ， ${\displaystyle e^{{\lambda }_{2}t}}$  の線形結合

${\displaystyle x=c_1{e}^{{\lambda }_{1}t}+c_2{e}^{{\lambda }_{2}t}}$     （ ${\displaystyle c_1}$ ， ${\displaystyle c_1}$ ：任意定数）    - - - (4)

として求まるが，より正確には式(3)の根号内の ${\displaystyle {\gamma }^2-{\omega }_0^2}$  の符号によって場合分けする必要がある：

(i)  ${\displaystyle {\gamma }^2-{\omega }_0^2<0}$ の場合 （ ${\displaystyle \gamma <{\omega }_0}$  ： 不足減衰）

この場合，式(3)の根号内の ${\displaystyle {\gamma }^2-{\omega }_0^2}$  は負であるので，

${\displaystyle \sqrt{{\gamma }^2-{\omega }_0^2}}$ ${\displaystyle =i\sqrt{{\omega }_0^2-{\gamma }^2}}$ ${\displaystyle =i\omega }$     - - - (5)

とおくと，特性方程式の2つの解は共役複素根として， ${\displaystyle {\lambda }_1=-\gamma +i\omega }$ ， ${\displaystyle {\lambda }_2=-\gamma -i\omega }$  と表される．

したがって，オイラーの公式  ${\displaystyle e^{\pm i\theta }=\cos \theta \pm i\sin \theta }$  を用いると，2つの独立な解は

${\displaystyle e^{{\lambda }_{1}t}=e^{(-\gamma +i\omega )t}}$ ${\displaystyle =e^{-\gamma t}{e}^{i\omega t}}$ ${\displaystyle =e^{-\gamma t}(\cos \omega t+i\sin \omega t)}$

${\displaystyle e^{{\lambda }_{2}t}=e^{(-\gamma -i\omega )t}}$ ${\displaystyle =e^{-\gamma t}{e}^{-i\omega t}}$ ${\displaystyle =e^{-\gamma t}(\cos \omega t-i\sin \omega t)}$

となる．よって，一般解は

${\displaystyle x=c_1{e}^{{\lambda }_{1}t}+c_2{e}^{{\lambda }_{2}t}}$ ${\displaystyle =e^{-\gamma t}\left\{(c_1+c_2)\cos \omega t+i(c_1-c_2)\sin \omega t\right\}}$

と書ける．物理量 ${\displaystyle x}$ が実数であることを考えると， ${\displaystyle c_1=(A_1+i{A}_2)/2}$ ， ${\displaystyle c_2=(A_1-i{A}_2)/2}$  とおいて

${\displaystyle x=e^{-\gamma t}(A_1\cos \omega t+A_2\sin \omega t)}$    （ ${\displaystyle A_1}$ ， ${\displaystyle A_2}$ ： 任意定数（実数））     - - - (6)

が求まる（2つの独立な解として， ${\displaystyle e^{-\gamma t}\cos \omega t}$ ， ${\displaystyle e^{-\gamma t}\sin \omega t}$  を選び，それらの線形結合をとることに対応）．

また，${\displaystyle A=\sqrt{A_1^2+A_2^2}}$ ， ${\displaystyle \cos \alpha =A_1/A}$ ， ${\displaystyle \sin \alpha =-A_2/A}$  とおいて，加法定理を用いると，一般解は

${\displaystyle x=A{e}^{-\gamma t}\cos (\omega t+\alpha )}$    （ ${\displaystyle A}$ ， ${\displaystyle \alpha }$ ： 任意定数）     - - - (7)

と書ける．

(ii)  ${\displaystyle {\gamma }^2-{\omega }_0^2>0}$ の場合 （ ${\displaystyle \gamma >{\omega }_0}$  ： 過減衰）

この場合，特性方程式は2つの異なる実数根を持ち， ${\displaystyle \eta =\sqrt{{\gamma }^2-{\omega }_0^2}}$   とおくと， ${\displaystyle {\lambda }_1=-\gamma +\eta }$ ， ${\displaystyle {\lambda }_2=-\gamma -\eta }$  より

${\displaystyle x=c_1{e}^{{\lambda }_{1}t}+c_2{e}^{{\lambda }_{2}t}}$ ${\displaystyle =c_1{e}^{(-\gamma +\eta )t}+c_2{e}^{(-\gamma -\eta )t}}$ ${\displaystyle =e^{-\gamma t}\left(c_1{e}^{\eta t}+c_2{e}^{-\eta t}\right)}$     - - - (8)

となる（ ${\displaystyle c_1}$ ， ${\displaystyle c_2}$ ：任意定数）． ${\displaystyle \eta <\gamma }$ なので， ${\displaystyle {\lambda }_1,{\lambda }_2<0}$ であり，2つの独立な解 ${\displaystyle e^{{\lambda }_{1}t}}$ ， ${\displaystyle e^{{\lambda }_{2}t}}$  はともに減少関数である．

(iii)  ${\displaystyle {\gamma }^2-{\omega }_0^2=0}$ の場合 （ ${\displaystyle \gamma ={\omega }_0}$  ： 臨界減衰）

この場合，特性方程式はただ一つの実数根 ${\displaystyle \lambda =-\gamma }$ （実重根）を持ち，2つの独立な解の一つは ${\displaystyle x_1=e^{-\gamma t}}$  である．

もう一つの解は，階数低減法によって求める．まず， ${\displaystyle t}$ の関数 ${\displaystyle u(t)}$ を用いて，もう一つの解を ${\displaystyle x_2=e^{-\gamma t}u}$  とおくと，

${\displaystyle \frac{d{x}_2}{dt}=-\gamma e^{-\gamma t}u+e^{-\gamma t}\frac{du}{dt}}$   ，   ${\displaystyle \frac{d^2{x}_2}{d{t}^2}={\gamma }^2{e}^{-\gamma t}u-2\gamma e^{-\gamma t}\frac{du}{dt}+e^{-\gamma t}\frac{d^{2}u}{d{t}^2}}$

であるので，これらを式(1)に代入すると

${\displaystyle ({\gamma }^2{e}^{-\gamma t}u-2\gamma e^{-\gamma t}\frac{du}{dt}+e^{-\gamma t}\frac{d^{2}u}{d{t}^2})}$ ${\displaystyle +2\gamma (-\gamma e^{-\gamma t}u+e^{-\gamma t}\frac{du}{dt})}$ ${\displaystyle +{\omega }_0^2{e}^{-\gamma t}u}$

${\displaystyle =e^{-\gamma t}\frac{d^{2}u}{d{t}^2}-({\gamma }^2-{\omega }_0^2)e^{-\gamma t}u=0}$

今， ${\displaystyle {\gamma }^2-{\omega }_0^2=0}$  なので，上式は結局   ${\displaystyle \frac{d^{2}u}{d{t}^2}=0}$   となり，2回積分すると   ${\displaystyle u(t)=c_1+c_{2}t}$  （ ${\displaystyle c_1}$ ， ${\displaystyle c_2}$ ：任意定数） が得られるが，もう一つの独立な解 ${\displaystyle x_2}$ を求めるには単純に  ${\displaystyle u(t)=t}$  とすればよいので， ${\displaystyle x_2=t{e}^{-\gamma t}}$  が求まる．したがって，一般解は

${\displaystyle x=c_1{x}_1+c_2{x}_2=c_1{e}^{-\gamma t}+c_{2}t{e}^{-\gamma t}}$ ${\displaystyle =\left(c_1+c_{2}t\right)e^{-\gamma t}}$     - - - (9)

となる（ ${\displaystyle c_1}$ ， ${\displaystyle c_2}$ ：任意定数）．（実は， ${\displaystyle u(t)=c_1+c_{2}t}$  とすれば， ${\displaystyle x=u{e}^{-\gamma t}}$ ${\displaystyle =\left(c_1+c_{2}t\right)e^{-\gamma t}}$  が一般解を表す．）

解法2  ページトップ

式(1)の解を ${\displaystyle x=e^{-\gamma t}u}$  の形におく（ ${\displaystyle u}$ は ${\displaystyle t}$ の関数 ）と，

${\displaystyle \frac{dx}{dt}=-\gamma e^{-\gamma t}u+e^{-\gamma t}\frac{du}{dt}}$   ，   ${\displaystyle \frac{d^{2}x}{d{t}^2}={\gamma }^2{e}^{-\gamma t}u-2\gamma e^{-\gamma t}\frac{du}{dt}+e^{-\gamma t}\frac{d^{2}u}{d{t}^2}}$

であるので，これらを式(1)に代入すると

${\displaystyle ({\gamma }^2{e}^{-\gamma t}u-2\gamma e^{-\gamma t}\frac{du}{dt}+e^{-\gamma t}\frac{d^{2}u}{d{t}^2})}$ ${\displaystyle +2\gamma (-\gamma e^{-\gamma t}u+e^{-\gamma t}\frac{du}{dt})}$ ${\displaystyle +{\omega }_0^2{e}^{-\gamma t}u}$

${\displaystyle =e^{-\gamma t}\frac{d^{2}u}{d{t}^2}-({\gamma }^2-{\omega }_0^2)e^{-\gamma t}u}$ ${\displaystyle =e^{-\gamma t}(\frac{d^{2}u}{d{t}^2}-({\gamma }^2-{\omega }_0^2)u)=0}$

となる．ここで， ${\displaystyle e^{-\gamma t}\ne 0}$  であるので，

${\displaystyle \frac{d^{2}u}{d{t}^2}-({\gamma }^2-{\omega }_0^2)u=0}$     - - - (10)

が ${\displaystyle u}$ について成り立つ．この式(10)について ${\displaystyle {\gamma }^2-{\omega }_0^2}$  の符号により3つの場合に分ける：

(i)  ${\displaystyle {\gamma }^2-{\omega }_0^2<0}$ の場合 （ ${\displaystyle \gamma <{\omega }_0}$  ： 不足減衰）

${\displaystyle \omega =\sqrt{{\omega }_0^2-{\gamma }^2}}$     - - - (11)

とおくと，式(10)は

${\displaystyle \frac{d^{2}u}{d{t}^2}+{\omega }^{2}u=0}$     - - - (12)

となり，単振動の従う微分方程式と一致する．その特性方程式  ${\displaystyle {\lambda }^2+{\omega }^2}$ ${\displaystyle =(\lambda -i\omega )(\lambda +i\omega )=0}$  の解は ${\displaystyle \lambda =\pm i\omega }$  であるので，式(12)の一般解は

${\displaystyle u=A_1\cos \omega t+A_2\sin \omega t}$    （ ${\displaystyle A_1,A_2}$ ： 任意定数）     - - - (13)

あるいは，

${\displaystyle u=A\cos (\omega t+\alpha )}$    （ ${\displaystyle A,\alpha }$ ： 任意定数）     - - - (14)

と求まる．したがって，${\displaystyle x=e^{-\gamma t}u}$  より，式(1)の一般解として

${\displaystyle x=e^{-\gamma t}(A_1\cos \omega t+A_2\sin \omega t)}$    （ ${\displaystyle A_1}$ ， ${\displaystyle A_2}$ ： 任意定数）     - - - (15)

あるいは，

${\displaystyle x=A{e}^{-\gamma t}\cos (\omega t+\alpha )}$    （ ${\displaystyle A}$ ， ${\displaystyle \alpha }$ ： 任意定数）     - - - (16)

が得られる．

(ii)  ${\displaystyle {\gamma }^2-{\omega }_0^2>0}$ の場合 （ ${\displaystyle \gamma >{\omega }_0}$  ： 過減衰）

${\displaystyle \eta =\sqrt{{\gamma }^2-{\omega }_0^2}}$     - - - (17)

とおくと，式(10)は

${\displaystyle \frac{d^{2}u}{d{t}^2}-{\eta }^{2}u=0}$     - - - (18)

となり，その特性方程式  ${\displaystyle {\lambda }^2-{\eta }^2}$ ${\displaystyle =(\lambda -\eta )(\lambda +\eta )=0}$  の解は ${\displaystyle \lambda =\pm \eta }$  であるので，式(12)の一般解は

${\displaystyle u=c_1{e}^{\eta t}+c_2{e}^{-\eta t}}$     （ ${\displaystyle c_1}$ ， ${\displaystyle c_2}$ ：任意定数）     - - - (19)

と求まる．したがって，式(1)の一般解は ${\displaystyle x=e^{-\gamma t}u}$  より

${\displaystyle x=e^{-\gamma t}\left(c_1{e}^{\eta t}+c_2{e}^{-\eta t}\right)}$     （ ${\displaystyle c_1}$ ， ${\displaystyle c_2}$ ：任意定数）    - - - (20)

となる．

(iii)  ${\displaystyle {\gamma }^2-{\omega }_0^2=0}$ の場合 （ ${\displaystyle \gamma ={\omega }_0}$  ： 臨界減衰）

この場合，式(10)左辺の第2項目がゼロになるので，

${\displaystyle \frac{d^{2}u}{d{t}^2}=0}$     - - - (21)

である．上式を2回積分すると  ${\displaystyle u=c_1+c_{2}t}$  （ ${\displaystyle c_1}$ ， ${\displaystyle c_2}$ ：任意定数）が得られるので，式(1)の一般解は ${\displaystyle x=e^{-\gamma t}u}$  より

${\displaystyle x=\left(c_1+c_{2}t\right)e^{-\gamma t}}$     （ ${\displaystyle c_1}$ ， ${\displaystyle c_2}$ ：任意定数）    - - - (22)

と求まる．

初期値問題  ページトップ

初期条件 ${\displaystyle x(0)=x_0}$ ， ${\displaystyle v(0)=v_0}$ を満たす特殊解を求める（ ${\displaystyle v(t)=dx/dt}$ ）．

(i)  ${\displaystyle {\gamma }^2-{\omega }_0^2<0}$ の場合 （ ${\displaystyle \gamma <{\omega }_0}$  ： 不足減衰）

一般解を   ${\displaystyle x=e^{-\gamma t}(A_1\cos \omega t+A_2\sin \omega t)}$   とした場合

${\displaystyle v=\frac{dx}{dt}=-e^{-\gamma t}\left\{\right(\gamma A_1-\omega A_2)\cos \omega t+(\omega A_1+\gamma A_2\left)\sin \omega t\right\}}$

初期条件より

${\displaystyle x(0)=e^0(A_1\cos 0+A_2\sin 0)=A_1=x_0}$

${\displaystyle v(0)=-e^0\left\{\right(\gamma A_1-\omega A_2)\cos 0+(\omega A_1+\gamma A_2\left)\sin 0\right\}}$ ${\displaystyle =-\gamma A_1+\omega A_2=v_0}$     ⇒     ${\displaystyle A_2=\frac{x_0\gamma +v_0}{\omega }}$

なので，初期条件を満たす解は次式となる．

${\displaystyle x=e^{-\gamma t}(x_0\cos \omega t+\frac{x_0\gamma +v_0}{\omega }\sin \omega t)}$     - - - (23)

一般解を   ${\displaystyle x=A{e}^{-\gamma t}\cos (\omega t+\alpha )}$   とした場合

${\displaystyle v=\frac{dx}{dt}}$ ${\displaystyle =-A{e}^{-\gamma t}\left\{\gamma \cos (\omega t+\alpha )+\omega \sin (\omega t+\alpha )\right\}}$

初期条件より

${\displaystyle x(0)=A{e}^0\cos (0+\alpha )}$ ${\displaystyle =A\cos \alpha =x_0}$

${\displaystyle v(0)=-A{e}^0\left\{\gamma \cos (0+\alpha )+\omega \sin (0+\alpha )\right\}}$ ${\displaystyle =-\gamma A\cos \alpha -\omega A\sin \alpha =v_0}$     ⇒     ${\displaystyle A\sin \alpha =-\frac{x_0\gamma +v_0}{\omega }}$

なので，任意定数 ${\displaystyle A}$ ， ${\displaystyle \alpha }$ は

${\displaystyle A^2={(A\cos \alpha )}^2+{(A\sin \alpha )}^2}$ ${\displaystyle =x_0^2+{\left(-\frac{x_0\gamma +v_0}{\omega }\right)}^2}$ ${\displaystyle =x_0^2+\frac{{(x_0\gamma +v_0)}^2}{{\omega }^2}}$     - - - (24)

${\displaystyle \tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{-\frac{x_0\gamma +v_0}{\omega }}{x_0}=-\frac{x_0\gamma +v_0}{x_0\omega }}$      ${\displaystyle (x_0\ne 0)}$     - - - (25)

を満たすように決定する（ ${\displaystyle x_0=0}$ のときは， ${\displaystyle \cos \alpha =0}$ を満たす ${\displaystyle \alpha }$ を考えればよい ）．

この場合， ${\displaystyle A}$ については正負の， ${\displaystyle \alpha }$ については ${\displaystyle n\pi }$ （ ${\displaystyle n}$ ：整数）の任意性が残っているが， ${\displaystyle A>0}$ と制限すると，

${\displaystyle A=\sqrt{x_0^2+\frac{{(x_0\gamma +v_0)}^2}{{\omega }^2}}}$     - - - (26)

であり， ${\displaystyle \alpha }$ については，次の2式

${\displaystyle \cos \alpha =\frac{x_0}{A}=\frac{x_0\omega }{\sqrt{{(x_0\omega )}^2+{(x_0\gamma +v_0)}^2}}}$  ，  ${\displaystyle \sin \alpha =-\frac{x_0\gamma +v_0}{A\omega }=-\frac{x_0\gamma +v_0}{\sqrt{{(x_0\omega )}^2+{(x_0\gamma +v_0)}^2}}}$     - - - (27)

を同時に満たすように ${\displaystyle -\pi <\alpha \le \pi }$ の範囲内で考えれば，一意的に決まる．

(ii)  ${\displaystyle {\gamma }^2-{\omega }_0^2>0}$ の場合 （ ${\displaystyle \gamma >{\omega }_0}$  ： 過減衰）

一般解 ：  ${\displaystyle x=e^{-\gamma t}\left(c_1{e}^{\eta t}+c_2{e}^{-\eta t}\right)}$

${\displaystyle v=\frac{dx}{dt}=-e^{-\gamma t}\left\{(\gamma -\eta )c_1{e}^{\eta t}+(\gamma +\eta )c_2{e}^{-\eta t}\right\}}$

初期条件より

${\displaystyle x(0)=e^0\left(c_1{e}^0+c_2{e}^0\right)=c_1+c_2=x_0}$

${\displaystyle v(0)=-e^0\left\{(\gamma -\eta )c_1{e}^0+(\gamma +\eta )c_2{e}^0\right\}}$ ${\displaystyle =-(\gamma -\eta )c_1-(\gamma +\eta )c_2=v_0}$

上の2式を連立させて ${\displaystyle c_1}$ ， ${\displaystyle c_2}$ を求めると

${\displaystyle c_1=\frac{(\gamma +\eta )x_0+v_0}{2\eta }}$   ，   ${\displaystyle c_2=-\frac{(\gamma -\eta )x_0+v_0}{2\eta }}$     - - - (28)

が得られる．したがって，初期条件を満たす解は次式となる．

${\displaystyle x=\frac{(\gamma +\eta )x_0+v_0}{2\eta }{e}^{-(\gamma -\eta )t}-\frac{(\gamma -\eta )x_0+v_0}{2\eta }{e}^{-(\gamma +\eta )t}}$     - - - (29)

(iii)  ${\displaystyle {\gamma }^2-{\omega }_0^2=0}$ の場合 （ ${\displaystyle \gamma ={\omega }_0}$  ： 臨界減衰）

一般解 ：  ${\displaystyle x=\left(c_1+c_{2}t\right)e^{-\gamma t}}$

${\displaystyle v=\frac{dx}{dt}=\left\{c_2-\gamma (c_1+c_{2}t)\right\}{e}^{-\gamma t}}$

初期条件より

${\displaystyle x(0)=\left(c_1+0\right)e^0}$ ${\displaystyle =c_1=x_0}$

${\displaystyle v(0)=\left\{c_2-\gamma (c_1+0)\right\}{e}^0=c_2-\gamma c_1=v_0}$     ⇒     ${\displaystyle c_2=x_0\gamma +v_0}$

なので，初期条件を満たす解は次式となる．

${\displaystyle x=\left\{x_0+(x_0\gamma +v_0)t\right\}{e}^{-\gamma t}}$     - - - (30)

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