強制振動 ： 微分方程式の解法 (solution of differential equation)

強制振動の従う微分方程式

${\displaystyle \frac{d^{2}x}{d{t}^2}+{\omega }_0^{2}x=\frac{F_{\text{ex}}(t)}{m}}$      （ ${\displaystyle {\omega }_0}$ , ${\displaystyle m}$ ：正定数）     ······ 

の一般解を求める．ここでは，具体的な外力 ${\displaystyle F_{\text{ex}}(t)}$ の形として，以下の関数を考える．

1. ${\displaystyle F_{\text{ex}}(t)=F_0\sin (\omega t+\beta )}$   ⇒ 解法
2. ${\displaystyle F_{\text{ex}}(t)=F_0\cos (\omega t+\beta )}$   ⇒ 解法
3. ${\displaystyle F_{\text{ex}}(t)=F_0{e}^{-\eta t}}$   ⇒ 解法
4. ${\displaystyle F_{\text{ex}}(t)=F_0{e}^{-\eta t}\sin (\omega t+\beta )}$   ⇒ 解法

周期的な外力であれば，どのような形であってもフーリエ変換を用いると，様々な周期のsin関数やcos関数の重ね合わせで表現できるので，sin関数やcos関数で表された外力を考えることは非常に有用である．

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最終更新日：2026年1月27日