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強制振動：運動方程式 (equation of motion)

${\displaystyle x}$ 軸上を単振動する質量 ${\displaystyle m}$ の質点には，その位置 ${\displaystyle x}$ に比例した復元力 ${\displaystyle -cx}$  （ ${\displaystyle c}$ ：正定数）が作用し，運動方程式は

${\displaystyle m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-cx}$     ······ 

と表される．この質点に時間的に変動する外力 ${\displaystyle F_{\text{ex}}(t)}$ が作用する場合を考えると，その運動方程式は

${\displaystyle m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-cx+F_{\text{ex}}(t)}$     ······ 

となる．これが強制振動の従う運動方程式であり，一般に，強制振動において外力 ${\displaystyle F_{\text{ex}}(t)}$ は周期的（振動的）な力を考える．

式において， ${\displaystyle {\omega }_0=\sqrt{c/m}}$ を導入して整理すると，定数係数の2階非同次線形微分方程式

${\displaystyle \frac{d^{2}x}{d{t}^2}+{\omega }_0^{2}x=\frac{F_{\text{ex}}(t)}{m}}$     ······ 

が得られる．${\displaystyle {\omega }_0}$ は単振動の固有角振動数である．この微分方程式を解くと，一般解が

${\displaystyle x(t)=A\cos ({\omega }_{0}t+\alpha )+x_p(t)}$     （ ${\displaystyle A}$ ，${\displaystyle \alpha }$ ：任意定数）     ······ 

のように，単振動（右辺第1項目）と外力 ${\displaystyle F_{\text{ex}}(t)}$ により強制的に引き起こされる変動 ${\displaystyle x_p(t)}$ との和（重ね合わせ）として求まる．ここで， ${\displaystyle x_p(t)}$ は

である（${\displaystyle x_p(t)}$ は任意定数を含まないので，上式の積分では積分定数を考慮する必要はない）．

ここで，外力が

${\displaystyle F_{\text{ex}}(t)=F_0\sin \omega t}$     （ ${\displaystyle F_0}$ ，${\displaystyle \omega }$ ：定数）     ······ 

のように角振動数 ${\displaystyle \omega }$ で周期的に変動する場合を考えると， 強制振動項は， ${\displaystyle \omega \ne {\omega }_0}$ であれば

${\displaystyle x_p(t)=\frac{F_0}{m({\omega }_0^2-{\omega }^2)}\sin \omega t}$     ······ 

となる．上式は，${\displaystyle \omega <{\omega }_0}$ のとき外力と同位相となり，${\displaystyle \omega >{\omega }_0}$ のとき逆位相となる（位相が ${\displaystyle \pi }$ だけずれる）．一方， ${\displaystyle \omega ={\omega }_0}$ であれば，式は発散してしまうため，この場合は

${\displaystyle x_p(t)=-\frac{F_0}{2m{\omega }_0}t\cos {\omega }_{0}t}$     ······ 

で表される．この式から分かるように，時間の経過とともに振動の振幅が ${\displaystyle t}$ に比例して増大する（共振）．

外力が式で与えられる場合について，外力の角振動数 ${\displaystyle \omega }$ を変化させたときの解のグラフを以下に示す．ここで，式の初期条件として ${\displaystyle x(0)=0}$ ， ${\displaystyle v(0)=\frac{dx}{dt}(0)=0}$ を考え，それを満たす解

${\displaystyle x(t)=\frac{F_0}{m({\omega }_0^2-{\omega }^2)}\{}$ ${\displaystyle -(\omega /{\omega }_0)\sin {\omega }_{0}t}$ ${\displaystyle +\sin \omega t}$ ${\displaystyle \}}$     ( ${\displaystyle \omega \ne {\omega }_0}$ )     ······ 

について， ${\displaystyle \frac{F_0}{m|{\omega }_0^2-{\omega }^2|}}$ を一定に保ってグラフを描画した．

${\displaystyle \omega }$ が ${\displaystyle {\omega }_0}$ 近いと，うなりのような現象が生じることがわかる．

${\displaystyle \omega ={\omega }_0}$ については，式を用いて，初期条件を満たす解は

${\displaystyle x(t)=\frac{F_0}{2m{\omega }_0^2}\{}$ ${\displaystyle \sin {\omega }_{0}t}$ ${\displaystyle -{\omega }_{0}t\cos {\omega }_{0}t}$ ${\displaystyle \}}$     ······ 

となり，そのグラフは下図となる（中段のグラフ）．上段と下段のグラフは ${\displaystyle \omega }$ と ${\displaystyle {\omega }_0}$ が近いときの状況を式で描いたグラフである．

${\displaystyle \omega ={\omega }_0}$ のときは，時間の経過とともに振動の振幅が ${\displaystyle t}$ に比例して無限に増大する．

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最終更新日：2026年1月24日

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