強制振動：微分方程式の解法（外力が指数関数 × sin 関数の場合）

単振動する質量 $m$ の質点に作用する外力が $F_{ex} (t) = F_{0} e^{- η t} \sin (ω t + β)$ で与えられる場合， $f_{0} = F_{0} / m$ とおくと，強制振動の従う運動方程式（微分方程式）は

$\frac{d^{2} x}{d t^{2}} + ω_{0}^{2} x = f_{0} e^{- η t} \sin (ω t + β)$ （ $ω_{0}$ , $f_{0}$ , $η$ , $ω$ , $β$ ：定数） ······

と表される．式の一般解を未定係数法，または定数変化法により求める（初期値問題は ⇒ こちら）．

解法1：未定係数法

式は定数係数の2階非同次線形微分方程式であり，その一般解は，同次方程式の一般解 $x_{h}$ と非同次方程式の特殊解 $x_{p}$ の和 $x = x_{h} + x_{p}$ として表される．式の右辺の非同次項が「指数関数 × sin 関数」の場合は未定係数法を用いて特殊解 $x_{p}$ を求めることができる．

まず，同次方程式

$\frac{d^{2} x}{d t^{2}} + ω_{0}^{2} x = 0$ ······

の一般解 $x_{h}$ は単振動の一般解であるので

$x_{h} = A_{1} \cos ω_{0} t + A_{2} \sin ω_{0} t$ （ $A_{1}$ , $A_{2}$ ：任意定数） ······

または，

$x_{h} = A \cos (ω_{0} t + α)$ （ $A$ , $α$ ：任意定数） ······

と表せる．次に，非同次方程式の特殊解 $x_{p}$ を求める．

未定係数法により，非同次項（式の右辺）

$r (t) = f_{0} e^{- η t} \sin (ω t + β)$ $= f_{0} e^{- η t} (\sin β \cos ω t + \cos β \sin ω t)$

から特殊解は

$x_{p} = e^{- η t} (K \cos ω t + M \sin ω t)$ （ $K$ , $M$ ：未定係数） ······

とおける．その導関数は

$\frac{d x_{p}}{d t} = - η e^{- η t} (K \cos ω t + M \sin ω t) + e^{- η t} (- K ω \sin ω t + M ω \cos ω t)$ ······
$\frac{d^{2} x_{p}}{d t^{2}} = (η^{2} - ω^{2}) e^{- η t} (K \cos ω t + M \sin ω t) - 2 η e^{- η t} (- K ω \sin ω t + M ω \cos ω t)$ ······

であるので，式, を式に代入すると

$(η^{2} - ω^{2}) e^{- η t} (K \cos ω t + M \sin ω t) - 2 η e^{- η t} (- K ω \sin ω t + M ω \cos ω t) + ω_{0}^{2} e^{- η t} (K \cos ω t + M \sin ω t)$
$= {(η^{2} + ω_{0}^{2} - ω^{2}) K - 2 η ω M} e^{- η t} \cos ω t + {(η^{2} + ω_{0}^{2} - ω^{2}) M + 2 η ω K} e^{- η t} \sin ω t$
$= f_{0} e^{- η t} (\sin β \cos ω t + \cos β \sin ω t)$

となり，左辺と最右辺が恒等的に等しいとすると， $K$ と $M$ についての連立1次方程式

$\{\begin{matrix} (η^{2} + ω_{0}^{2} - ω^{2}) K - 2 η ω M = f_{0} \sin β \\ 2 η ω K + (η^{2} + ω_{0}^{2} - ω^{2}) M = f_{0} \cos β \end{matrix}$ ······

⇒ $(\begin{matrix} η^{2} + ω_{0}^{2} - ω^{2} & - 2 η ω \\ 2 η ω & η^{2} + ω_{0}^{2} - ω^{2} \end{matrix}) (\begin{matrix} K \\ M \end{matrix}) = (\begin{matrix} f_{0} \sin β \\ f_{0} \cos β \end{matrix})$ ······

が得られ，上式を解くと

$K = f_{0} \frac{(η^{2} + ω_{0}^{2} - ω^{2}) \sin β + 2 η ω \cos β}{{(η^{2} + ω_{0}^{2} - ω^{2})}^{2} + {(2 η ω)}^{2}}$ ······
$M = f_{0} \frac{(η^{2} + ω_{0}^{2} - ω^{2}) \cos β - 2 η ω \sin β}{{(η^{2} + ω_{0}^{2} - ω^{2})}^{2} + {(2 η ω)}^{2}}$ ······

が得られる．したがって，特殊解は

$x_{p} = \frac{f_{0} e^{- η t}}{{(η^{2} + ω_{0}^{2} - ω^{2})}^{2} + {(2 η ω)}^{2}}$ $\times [{(η^{2} + ω_{0}^{2} - ω^{2}) \sin β + 2 η ω \cos β} \cos ω t + {(η^{2} + ω_{0}^{2} - ω^{2}) \cos β - 2 η ω \sin β} \sin ω t]$ $= \frac{f_{0} e^{- η t}}{{(η^{2} + ω_{0}^{2} - ω^{2})}^{2} + {(2 η ω)}^{2}} {(η^{2} + ω_{0}^{2} - ω^{2}) \sin (ω t + β) + 2 η ω \cos (ω t + β)}$ ······

となり，式の一般解として

$x = x_{h} + x_{p}$
$= A \cos (ω_{0} t + α) + \frac{f_{0} e^{- η t}}{{(η^{2} + ω_{0}^{2} - ω^{2})}^{2} + {(2 η ω)}^{2}} {(η^{2} + ω_{0}^{2} - ω^{2}) \sin (ω t + β) + 2 η ω \cos (ω t + β)}$ ······

が得られる（ $x_{h}$ については，式の形を用いた）．

解法2：定数変化法ページトップ

式は定数係数の2階非同次線形微分方程式であり，その一般解は，同次方程式の一般解 $x_{h}$ と非同次方程式の特殊解 $x_{p}$ の和 $x = x_{h} + x_{p}$ として表される．同次方程式の基底が求まっている場合，定数変化法を用いて特殊解 $x_{p}$ を求めることができる．

まず，式の同次方程式の一般解 $x_{h}$ は，上述の未定係数法で説明したように式

$x_{h} = A_{1} \cos ω_{0} t + A_{2} \sin ω_{0} t$

で表され，基底は $x_{1} = \cos ω_{0} t$ ， $x_{2} = \sin ω_{0} t$ である．定数変化法では，この同次方程式の一般解の任意定数 $A_{1}$ ， $A_{2}$ を未知関数 $u_{1} (t)$ ， $u_{2} (t)$ で置き換えたものを非同次方程式の特殊解

$x_{p} = u_{1} (t) \cos ω_{0} t + u_{2} (t) \sin ω_{0} t$ ······

とし，これが式を満たすように未知関数は

$u_{1} (t) = - \int \frac{r (t) x_{2} (t)}{W (x_{1}, x_{2})} d t$ ······
$u_{2} (t) = \int \frac{r (t) x_{1} (t)}{W (x_{1}, x_{2})} d t$ ······

で与えられる．ここで， $r (t) = f_{0} e^{- η t} \sin (ω t + β)$ は式の非同次項で， $W (x_{1}, x_{2})$ は基底 $x_{1}$ ， $x_{2}$ のロンスキ―行列式である．基底の時間微分は

${\dot{x}}_{1} = \frac{d x_{1}}{d t} = - ω_{0} \sin ω_{0} t$
${\dot{x}}_{2} = \frac{d x_{2}}{d t} = ω_{0} \cos ω_{0} t$

であるので，ロンスキ―行列式は

$W (x_{1}, x_{2}) = | \begin{matrix} x_{1} & x_{2} \\ {\dot{x}}_{1} & {\dot{x}}_{2} \end{matrix} |$ $= x_{1} {\dot{x}}_{2} - x_{2} {\dot{x}}_{1}$
$= \cos ω_{0} t \cdot ω_{0} \cos ω_{0} t - \sin ω_{0} t \cdot (- ω_{0} \sin ω_{0} t)$
$= ω_{0} (\cos^{2} ω_{0} t + \sin^{2} ω_{0} t)$
$= ω_{0}$ ······

となる（ $W (x_{1}, x_{2}) \neq 0$ なので， $x_{1}$ と $x_{2}$ が独立であることがわかる）．

式は，部分積分により，それぞれ

$u_{1} (t) = - \int \frac{f_{0} e^{- η t} \sin (ω t + β) \sin ω_{0} t}{ω_{0}} d t$ $= - \frac{f_{0}}{ω_{0}} \int e^{- η t} \sin (ω t + β) \sin ω_{0} t d t$
$= \frac{f_{0}}{2 ω_{0}} \int e^{- η t} {\cos ((ω + ω_{0}) t + β) - \cos ((ω - ω_{0}) t + β)} d t$
$= \frac{f_{0}}{2 ω_{0}} {\int e^{- η t} \cos ((ω + ω_{0}) t + β) d t - \int e^{- η t} \cos ((ω - ω_{0}) t + β) d t}$
$= \frac{f_{0}}{2 ω_{0}} [\frac{e^{- η t}}{η^{2} + {(ω + ω_{0})}^{2}} {- η \cos ((ω + ω_{0}) t + β) + (ω + ω_{0}) \sin ((ω + ω_{0}) t + β)}$
$- \frac{e^{- η t}}{η^{2} + {(ω - ω_{0})}^{2}} {- η \cos ((ω - ω_{0}) t + β) + (ω - ω_{0}) \sin ((ω - ω_{0}) t + β)}]$
$= \frac{f_{0} e^{- η t}}{2 ω_{0} {η^{2} + {(ω + ω_{0})}^{2}} {η^{2} + {(ω - ω_{0})}^{2}}}$
$\times [{η^{2} + {(ω - ω_{0})}^{2}} {- η \cos ((ω + ω_{0}) t + β) + (ω + ω_{0}) \sin ((ω + ω_{0}) t + β)}$
$- {η^{2} + {(ω + ω_{0})}^{2}} {- η \cos ((ω - ω_{0}) t + β) + (ω - ω_{0}) \sin ((ω - ω_{0}) t + β)}]$
$= \frac{f_{0} e^{- η t}}{2 ω_{0} {{(η^{2} + ω_{0}^{2} - ω^{2})}^{2} + {(2 η ω)}^{2}}}$
$\times [- η {η^{2} + {(ω - ω_{0})}^{2}} \cos ((ω + ω_{0}) t + β)$
$+ (ω + ω_{0}) {η^{2} + {(ω - ω_{0})}^{2}} \sin ((ω + ω_{0}) t + β)$
$+ η {η^{2} + {(ω + ω_{0})}^{2}} \cos ((ω - ω_{0}) t + β)$
$- (ω - ω_{0}) {η^{2} + {(ω + ω_{0})}^{2}} \sin ((ω - ω_{0}) t + β)]$ ······

$u_{2} (t) = \int \frac{f_{0} e^{- η t} \sin (ω t + β) \cos ω_{0} t}{ω_{0}} d t$ $= \frac{f_{0}}{ω_{0}} \int e^{- η t} \sin (ω t + β) \cos ω_{0} t d t$
$= \frac{f_{0}}{2 ω_{0}} \int e^{- η t} {\sin ((ω + ω_{0}) t + β) + \sin ((ω - ω_{0}) t + β)} d t$
$= \frac{f_{0}}{2 ω_{0}} {\int e^{- η t} \sin ((ω + ω_{0}) t + β) d t + \int e^{- η t} \sin ((ω - ω_{0}) t + β) d t}$
$= \frac{f_{0}}{2 ω_{0}} [\frac{e^{- η t}}{η^{2} + {(ω + ω_{0})}^{2}} {- η \sin ((ω + ω_{0}) t + β) - (ω + ω_{0}) \cos ((ω + ω_{0}) t + β)}$
$+ \frac{e^{- η t}}{η^{2} + {(ω - ω_{0})}^{2}} {- η \sin ((ω - ω_{0}) t + β) - (ω - ω_{0}) \cos ((ω - ω_{0}) t + β)}]$
$= \frac{f_{0} e^{- η t}}{2 ω_{0} {η^{2} + {(ω + ω_{0})}^{2}} {η^{2} + {(ω - ω_{0})}^{2}}}$
$\times [{η^{2} + {(ω - ω_{0})}^{2}} {- η \sin ((ω + ω_{0}) t + β) - (ω + ω_{0}) \cos ((ω + ω_{0}) t + β)}$
$+ {η^{2} + {(ω + ω_{0})}^{2}} {- η \sin ((ω - ω_{0}) t + β) - (ω - ω_{0}) \cos ((ω - ω_{0}) t + β)}]$ $= \frac{f_{0} e^{- η t}}{2 ω_{0} {{(η^{2} + ω_{0}^{2} - ω^{2})}^{2} + {(2 η ω)}^{2}}}$
$\times [- η {η^{2} + {(ω - ω_{0})}^{2}} \sin ((ω + ω_{0}) t + β)$
$- (ω + ω_{0}) {η^{2} + {(ω - ω_{0})}^{2}} \cos ((ω + ω_{0}) t + β)$
$- η {η^{2} + {(ω + ω_{0})}^{2}} \sin ((ω - ω_{0}) t + β)$
$- (ω - ω_{0}) {η^{2} + {(ω + ω_{0})}^{2}} \cos ((ω - ω_{0}) t + β)]$ ······

となるので，式に上式を代入すると

$x_{p} = \frac{f_{0} e^{- η t}}{2 ω_{0} {{(η^{2} + ω_{0}^{2} - ω^{2})}^{2} + {(2 η ω)}^{2}}}$
$\times [- η {η^{2} + {(ω - ω_{0})}^{2}} {\cos ((ω + ω_{0}) t + β) \cos ω_{0} t + \sin ((ω + ω_{0}) t + β) \sin ω_{0} t}$
$+ (ω + ω_{0}) {η^{2} + {(ω - ω_{0})}^{2}} {\sin ((ω + ω_{0}) t + β) \cos ω_{0} t - \cos ((ω + ω_{0}) t + β) \sin ω_{0} t}$
$+ η {η^{2} + {(ω + ω_{0})}^{2}} {\cos ((ω - ω_{0}) t + β) \cos ω_{0} t - \sin ((ω - ω_{0}) t + β) \sin ω_{0} t}$
$- (ω - ω_{0}) {η^{2} + {(ω + ω_{0})}^{2}} {\sin ((ω - ω_{0}) t + β) \cos ω_{0} t + \cos ((ω - ω_{0}) t + β) \sin ω_{0} t}]$
$= \frac{f_{0} e^{- η t}}{2 ω_{0} {{(η^{2} + ω_{0}^{2} - ω^{2})}^{2} + {(2 η ω)}^{2}}}$
$\times [- η {η^{2} + {(ω - ω_{0})}^{2}} \cos (ω t + β) + (ω + ω_{0}) {η^{2} + {(ω - ω_{0})}^{2}} \sin (ω t + β)$
$+ η {η^{2} + {(ω + ω_{0})}^{2}} \cos (ω t + β) - (ω - ω_{0}) {η^{2} + {(ω + ω_{0})}^{2}} \sin (ω t + β)]$
$= \frac{f_{0} e^{- η t}}{2 ω_{0} {{(η^{2} + ω_{0}^{2} - ω^{2})}^{2} + {(2 η ω)}^{2}}} {4 η ω ω_{0} \cos (ω t + β) + 2 ω_{0} (η^{2} + ω_{0}^{2} - ω^{2}) \sin (ω t + β)}$
$= \frac{f_{0} e^{- η t}}{{(η^{2} + ω_{0}^{2} - ω^{2})}^{2} + {(2 η ω)}^{2}} {(η^{2} + ω_{0}^{2} - ω^{2}) \sin (ω t + β) + 2 η ω \cos (ω t + β)}$ ······

が得られる．式は，勿論，未定係数法で求めた特殊解と同じである．よって，式の一般解として，式が得られる．ただ，見て分かるように定数変化法よりも未定係数法で求めた方が計算は簡単である．

● 初期値問題ページトップ

初期条件 $x (0) = x_{0}$ ， $v (0) = v_{0}$ を満たす特殊解を求める（ $v (t) = d x / d t$ ）．

一般解を $x = A_{1} \cos ω_{0} t + A_{2} \sin ω_{0} t$ $+ e^{- η t} {B_{1} \cos (ω t + β) + B_{2} \sin (ω t + β)}$ とした場合

ここで， $B_{1} = \frac{2 η ω f_{0}}{{(η^{2} + ω_{0}^{2} - ω^{2})}^{2} + {(2 η ω)}^{2}}$ ， $B_{2} = \frac{(η^{2} + ω_{0}^{2} - ω^{2}) f_{0}}{{(η^{2} + ω_{0}^{2} - ω^{2})}^{2} + {(2 η ω)}^{2}}$ である．

$v = \frac{d x}{d t} = - ω_{0} A_{1} \sin ω_{0} t + ω_{0} A_{2} \cos ω_{0} t$
$- e^{- η t} {(η B_{1} - ω B_{2}) \cos (ω t + β) + (ω B_{1} + η B_{2}) \sin (ω t + β)}$

$A_{1}$ ， $A_{2}$ は任意定数であり，初期条件を満たすように決める．初期条件より，

$x (0) = A_{1} \cos 0 + A_{2} \sin 0 + e^{0} {B_{1} \cos (0 + β) + B_{2} \sin (0 + β)}$
$= A_{1} + B_{1} \cos β + B_{2} \sin β = x_{0}$

⇒ $A_{1} = x_{0} - (B_{1} \cos β + B_{2} \sin β)$

$v (0) = - ω_{0} A_{1} \sin 0 + ω_{0} A_{2} \cos 0$
$- e^{0} {(η B_{1} - ω B_{2}) \cos (0 + β) + (ω B_{1} + η B_{2}) \sin (0 + β)}$
$= ω_{0} A_{2} - {(η B_{1} - ω B_{2}) \cos β + (ω B_{1} + η B_{2}) \sin β} = v_{0}$

⇒ $A_{2} = \frac{v_{0} + (η B_{1} - ω B_{2}) \cos β + (ω B_{1} + η B_{2}) \sin β}{ω_{0}}$

となる．

一般解を $x = A \cos (ω_{0} t + α)$ $+ e^{- η t} {B_{1} \cos (ω t + β) + B_{2} \sin (ω t + β)}$ とした場合

$v = \frac{d x}{d t} = - ω_{0} A \sin (ω_{0} t + α) - e^{- η t} {(η B_{1} - ω B_{2}) \cos (ω t + β) + (ω B_{1} + η B_{2}) \sin (ω t + β)}$

初期条件より

$x (0) = A \cos (0 + α) + e^{0} {B_{1} \cos (0 + β) + B_{2} \sin (0 + β)}$
$= A \cos α + B_{1} \cos β + B_{2} \sin β = x_{0}$

⇒ $A \cos α = x_{0} - (B_{1} \cos β + B_{2} \sin β)$

$v (0) = - ω_{0} A \sin (0 + α)$
$- e^{0} {(η B_{1} - ω B_{2}) \cos (0 + β) + (ω B_{1} + η B_{2}) \sin (0 + β)}$
$= - ω_{0} A \sin α - {(η B_{1} - ω B_{2}) \cos β + (ω B_{1} + η B_{2}) \sin β} = v_{0}$

⇒ $A \sin α = - \frac{v_{0} + (η B_{1} - ω B_{2}) \cos β + (ω B_{1} + η B_{2}) \sin β}{ω_{0}}$

なので，任意定数 $A$ ， $α$ は

$A^{2} = {(A \cos α)}^{2} + {(A \sin α)}^{2}$
$= {x_{0} - (B_{1} \cos β + B_{2} \sin β)}^{2} + {\frac{v_{0} + (η B_{1} - ω B_{2}) \cos β + (ω B_{1} + η B_{2}) \sin β}{ω_{0}}}^{2}$ ······

$\tan α = \frac{\sin α}{\cos α}$ $= \frac{- \frac{v_{0} + (η B_{1} - ω B_{2}) \cos β + (ω B_{1} + η B_{2}) \sin β}{ω_{0}}}{x_{0} - (B_{1} \cos β + B_{2} \sin β)}$ $= - \frac{v_{0} + (η B_{1} - ω B_{2}) \cos β + (ω B_{1} + η B_{2}) \sin β}{ω_{0} x_{0} - ω_{0} (B_{1} \cos β + B_{2} \sin β)}$ ······

を満たすように決定する．この場合， $A$ については正負の， $α$ については $n π$ （ $n$ ：整数）の任意性が残っているが， $A > 0$ と制限すると，

$A = \sqrt{{x_{0} - (B_{1} \cos β + B_{2} \sin β)}^{2} + {\frac{v_{0} + (η B_{1} - ω B_{2}) \cos β + (ω B_{1} + η B_{2}) \sin β}{ω_{0}}}^{2}}$ ······

であり， $α$ については，次の2式

$\cos α = \frac{1}{A} (x_{0} - (B_{1} \cos β + B_{2} \sin β))$ ······
$\sin α = - \frac{1}{A} (\frac{v_{0} + (η B_{1} - ω B_{2}) \cos β + (ω B_{1} + η B_{2}) \sin β}{ω_{0}})$ ······

を同時に満たすように $- π < α \leq π$ の範囲内で考えれば，一意的に決まる．

例として， $η / ω_{0} = 0.10$ , $ω / ω_{0} = 0.90$ , $β = 0$ について，初期条件が $x (0) = 0$ ， $v (0) = 0$ の場合のグラフを以下に示す．赤線は単振動の項 $x_{h}$ ，緑線は強制変動の項 $x_{p}$ ，青点線がそれらの和 $x_{h} + x_{p}$ を表す．十分時間が経てば， $e^{- η t}$ のために強制変動の成分が無視でき，単振動の成分のみが残る．

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最終更新日：2026年2月3日

強制振動 ： 微分方程式の解法（外力が指数関数 × sin 関数の場合）

強制振動：微分方程式の解法（外力が指数関数 × sin 関数の場合）