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強制振動 ： 微分方程式の解法（外力が sin 関数の場合）

単振動する質量 ${\displaystyle m}$ の質点に作用する外力が ${\displaystyle F_{\text{ex}}(t)=F_0\sin (\omega t+\beta )}$ で与えられる場合， ${\displaystyle f_0=F_0/m}$ とおくと，強制振動の従う運動方程式（微分方程式）は

${\displaystyle \frac{d^{2}x}{d{t}^2}+{\omega }_0^{2}x=f_0\sin (\omega t+\beta )}$      （ ${\displaystyle {\omega }_0}$ , ${\displaystyle f_0}$ , ${\displaystyle \omega }$ , ${\displaystyle \beta }$ ：定数）     ······ 

と表される．式の一般解を未定係数法，または定数変化法により求める（初期値問題は ⇒ こちら）．

解法1：未定係数法

式は定数係数の2階非同次線形微分方程式であり，その一般解は，同次方程式の一般解 ${\displaystyle x_h}$ と非同次方程式の特殊解 ${\displaystyle x_p}$ の和 ${\displaystyle x=x_h+x_p}$ として表される．式の右辺の非同次項が sin 関数の場合は未定係数法を用いて特殊解 ${\displaystyle x_p}$ を求めることができる．

まず，同次方程式

${\displaystyle \frac{d^{2}x}{d{t}^2}+{\omega }_0^{2}x=0}$     ······ 

の一般解 ${\displaystyle x_h}$ は単振動の一般解であるので

${\displaystyle x_h=A_1\cos {\omega }_{0}t+A_2\sin {\omega }_{0}t}$    （ ${\displaystyle A_1}$ , ${\displaystyle A_2}$ ： 任意定数）     ······ 

または，

${\displaystyle x_h=A\cos ({\omega }_{0}t+\alpha )}$    （ ${\displaystyle A}$ , ${\displaystyle \alpha }$ ： 任意定数）     ······ 

と表せる．次に，非同次方程式の特殊解 ${\displaystyle x_p}$ を求める．

(i)  ${\displaystyle \omega \ne {\omega }_0}$ の場合

未定係数法により，非同次項（式の右辺）

${\displaystyle r(t)=f_0\sin (\omega t+\beta )}$ ${\displaystyle =f_0(\sin \beta \cos \omega t+\cos \beta \sin \omega t)}$

から特殊解は

${\displaystyle x_p=K\cos \omega t+M\sin \omega t}$    （ ${\displaystyle K}$ , ${\displaystyle M}$ ：未定係数）     ······ 

とおける．その導関数は

であるので，式, を式に代入すると

となり，上式2行目と3行目が恒等的に等しいとすると

${\displaystyle K=\frac{f_0\sin \beta }{{\omega }_0^2-{\omega }^2}}$ ， ${\displaystyle M=\frac{f_0\cos \beta }{{\omega }_0^2-{\omega }^2}}$     ······ 

が得られる．したがって，特殊解は

${\displaystyle x_p=\frac{f_0\sin \beta }{{\omega }_0^2-{\omega }^2}\cos \omega t+\frac{f_0\cos \beta }{{\omega }_0^2-{\omega }^2}\sin \omega t}$
${\displaystyle \phantom{x_p}=\frac{f_0}{{\omega }_0^2-{\omega }^2}\left(\sin \beta \cos \omega t+\cos \beta \sin \omega t\right)}$
${\displaystyle \phantom{x_p}=\frac{f_0}{{\omega }_0^2-{\omega }^2}\sin (\omega t+\beta )}$     ······ 

となり，式の一般解として

${\displaystyle x=x_h+x_p}$ ${\displaystyle =A\cos ({\omega }_{0}t+\alpha )+\frac{f_0}{{\omega }_0^2-{\omega }^2}\sin (\omega t+\beta )}$     ······ 

が得られる（ ${\displaystyle x_h}$ については，式の形を用いた）．

(ii)  ${\displaystyle \omega ={\omega }_0}$ の場合（共振）

未定係数法により，非同次項

${\displaystyle f_0\sin ({\omega }_{0}t+\beta )=f_0(\sin \beta \cos {\omega }_{0}t+\cos \beta \sin {\omega }_{0}t)}$

から特殊解を

${\displaystyle x_p=K\cos {\omega }_{0}t+M\sin {\omega }_{0}t}$

とおくと，上式は同次方程式の解となってしまい，式を満たさないので

${\displaystyle x_p=t\left(K\cos {\omega }_{0}t+M\sin {\omega }_{0}t\right)}$    （ ${\displaystyle K}$ , ${\displaystyle M}$ ：未定係数）     ······ 

のように修正する必要がある．その導関数は

であるので，式, を式に代入すると

となり，上式2行目と3行目が恒等的に等しいとすると

${\displaystyle K=-\frac{f_0\cos \beta }{2{\omega }_0}}$ ， ${\displaystyle M=\frac{f_0\sin \beta }{2{\omega }_0}}$     ······ 

が得られる．したがって，特殊解は

${\displaystyle x_p=t\left(-\frac{f_0\cos \beta }{2{\omega }_0}\cos {\omega }_{0}t+\frac{f_0\sin \beta }{2{\omega }_0}\sin {\omega }_{0}t\right)}$
${\displaystyle \phantom{x_p}=-\frac{f_0}{2{\omega }_0}t\left(\cos \beta \cos \omega t-\sin \beta \sin \omega t\right)}$
${\displaystyle \phantom{x_p}=-\frac{f_0}{2{\omega }_0}t\cos ({\omega }_{0}t+\beta )}$     ······ 

となり，式の一般解として

${\displaystyle x=x_h+x_p}$ ${\displaystyle =A\cos ({\omega }_{0}t+\alpha )-\frac{f_0}{2{\omega }_0}t\cos ({\omega }_{0}t+\beta )}$     ······ 

が得られる（ ${\displaystyle x_h}$ については，式の形を用いた）．

解法2：定数変化法  ページトップ

式は定数係数の2階非同次線形微分方程式であり，その一般解は，同次方程式の一般解 ${\displaystyle x_h}$ と非同次方程式の特殊解 ${\displaystyle x_p}$ の和 ${\displaystyle x=x_h+x_p}$ として表される．同次方程式の基底が求まっている場合，定数変化法を用いて特殊解 ${\displaystyle x_p}$ を求めることができる．

まず，式の同次方程式の一般解 ${\displaystyle x_h}$ は，上述の未定係数法で説明したように式

${\displaystyle x_h=A_1\cos {\omega }_{0}t+A_2\sin {\omega }_{0}t}$

で表され，基底は ${\displaystyle x_1=\cos {\omega }_{0}t}$ ， ${\displaystyle x_2=\sin {\omega }_{0}t}$ である．定数変化法では，この同次方程式の一般解の任意定数 ${\displaystyle A_1}$ ，${\displaystyle A_2}$ を未知関数 ${\displaystyle u_1(t)}$ ，${\displaystyle u_2(t)}$ で置き換えたものを非同次方程式の特殊解

${\displaystyle x_p=u_1(t)\cos {\omega }_{0}t+u_2(t)\sin {\omega }_{0}t}$     ······ 

とし，これが式を満たすように未知関数は

${\displaystyle u_1(t)=-\int \frac{r(t)x_2(t)}{W(x_1,x_2)}dt}$     ······ 
${\displaystyle u_2(t)=\int \frac{r(t)x_1(t)}{W(x_1,x_2)}dt}$     ······ 

で与えられる．ここで， ${\displaystyle r(t)=f_0\sin (\omega t+\beta )}$ は式の非同次項で， ${\displaystyle W(x_1,x_2)}$ は基底 ${\displaystyle x_1}$ ，${\displaystyle x_2}$ のロンスキ―行列式である．基底の時間微分は

${\displaystyle {\dot{x}}_1=\frac{d{x}_1}{dt}=-{\omega }_0\sin {\omega }_{0}t}$
${\displaystyle {\dot{x}}_2=\frac{d{x}_2}{dt}={\omega }_0\cos {\omega }_{0}t}$

であるので，ロンスキ―行列式は

となる（ ${\displaystyle W(x_1,x_2)\ne 0}$ なので，${\displaystyle x_1}$ と ${\displaystyle x_2}$ が独立であることがわかる）．

(i)  ${\displaystyle \omega \ne {\omega }_0}$ の場合

式は，それぞれ

となるので，式は

となる．式は，勿論，未定係数法で求めた特殊解と同じである．よって，式の一般解として，式が得られる．

(ii)  ${\displaystyle \omega ={\omega }_0}$ の場合

式は，それぞれ

となるので，式は

となるが，上式の右辺第1項目は式の同次方程式の解であるので，実質的に特殊解は

${\displaystyle x_p=-\frac{f_0}{2{\omega }_0}t\cos ({\omega }_{0}t+\beta )}$     ······ 

と表せる．式は，勿論，未定係数法で求めた特殊解と同じである．よって，式の一般解として，式が得られる．

● 初期値問題  ページトップ

初期条件 ${\displaystyle x(0)=x_0}$ ， ${\displaystyle v(0)=v_0}$ を満たす特殊解を求める（ ${\displaystyle v(t)=dx/dt}$ ）．

(i)  ${\displaystyle \omega \ne {\omega }_0}$ の場合

一般解を   ${\displaystyle x=A_1\cos {\omega }_{0}t+A_2\sin {\omega }_{0}t+\frac{f_0}{{\omega }_0^2-{\omega }^2}\sin (\omega t+\beta )}$   とした場合

初期条件より

${\displaystyle x(0)=A_1\cos 0+A_2\sin 0+\frac{f_0}{{\omega }_0^2-{\omega }^2}\sin (0+\beta )}$ ${\displaystyle =A_1+\frac{f_0}{{\omega }_0^2-{\omega }^2}\sin \beta =x_0}$

    ⇒     ${\displaystyle A_1=x_0-\frac{f_0}{{\omega }_0^2-{\omega }^2}\sin \beta }$

${\displaystyle v(0)=-{\omega }_0{A}_1\sin 0+{\omega }_0{A}_2\cos 0+\frac{f_0\omega }{{\omega }_0^2-{\omega }^2}\cos (0+\beta )}$ ${\displaystyle ={\omega }_0{A}_2+\frac{f_0\omega }{{\omega }_0^2-{\omega }^2}\cos \beta =v_0}$

    ⇒     ${\displaystyle A_2=\frac{v_0}{{\omega }_0}-\frac{f_0}{{\omega }_0^2-{\omega }^2}\frac{\omega }{{\omega }_0}\cos \beta }$

なので，初期条件を満たす解は次式となる．

一般解を   ${\displaystyle x=A\cos ({\omega }_{0}t+\alpha )+\frac{f_0}{{\omega }_0^2-{\omega }^2}\sin (\omega t+\beta )}$   とした場合

初期条件より

${\displaystyle x(0)=A\cos (0+\alpha )+\frac{f_0}{{\omega }_0^2-{\omega }^2}\sin (0+\beta )}$ ${\displaystyle =A\cos \alpha +\frac{f_0}{{\omega }_0^2-{\omega }^2}\sin \beta =x_0}$

    ⇒     ${\displaystyle A\cos \alpha =x_0-\frac{f_0}{{\omega }_0^2-{\omega }^2}\sin \beta }$

${\displaystyle v(0)=-{\omega }_{0}A\sin (0+\alpha )+\frac{f_0\omega }{{\omega }_0^2-{\omega }^2}\cos (0+\beta )}$ ${\displaystyle =-{\omega }_{0}A\sin \alpha +\frac{f_0\omega }{{\omega }_0^2-{\omega }^2}\cos \beta =v_0}$

    ⇒     ${\displaystyle A\sin \alpha =-\frac{v_0}{{\omega }_0}+\frac{f_0}{{\omega }_0^2-{\omega }^2}\frac{\omega }{{\omega }_0}\cos \beta }$

なので，任意定数 ${\displaystyle A}$ ，${\displaystyle \alpha }$ は

を満たすように決定する．この場合，${\displaystyle A}$ については正負の，${\displaystyle \alpha }$ については ${\displaystyle n\pi }$ （ ${\displaystyle n}$ ：整数）の任意性が残っているが， ${\displaystyle A>0}$ と制限すると，

であり，${\displaystyle \alpha }$ については，次の2式

${\displaystyle \cos \alpha =\frac{1}{A}\left(x_0-\frac{f_0}{{\omega }_0^2-{\omega }^2}\sin \beta \right)}$  ，  ${\displaystyle \sin \alpha =-\frac{1}{A}\left(\frac{v_0}{{\omega }_0}-\frac{f_0}{{\omega }_0^2-{\omega }^2}\frac{\omega }{{\omega }_0}\cos \beta \right)}$     ······ 

を同時に満たすように ${\displaystyle -\pi <\alpha \le \pi }$ の範囲内で考えれば，一意的に決まる．

(ii)  ${\displaystyle \omega ={\omega }_0}$ の場合（共振）

一般解を   ${\displaystyle x=A_1\cos {\omega }_{0}t+A_2\sin {\omega }_{0}t-\frac{f_0}{2{\omega }_0}t\cos ({\omega }_{0}t+\beta )}$   とした場合

初期条件より

${\displaystyle x(0)=A_1\cos 0+A_2\sin 0-\frac{f_0}{2{\omega }_0}\cdot 0\cdot \cos (0+\beta )}$ ${\displaystyle =A_1=x_0}$

${\displaystyle v(0)=-{\omega }_0{A}_1\sin 0+{\omega }_0{A}_2\cos 0-\frac{f_0}{2{\omega }_0}\left\{\cos (0+\beta )-0\cdot \sin (0+\beta )\right\}}$ ${\displaystyle ={\omega }_0{A}_2-\frac{f_0}{2{\omega }_0}\cos \beta =v_0}$

    ⇒     ${\displaystyle A_2=\frac{v_0}{{\omega }_0}+\frac{f_0}{2{\omega }_0^2}\cos \beta }$

なので，初期条件を満たす解は次式となる．

一般解を   ${\displaystyle x=A\cos ({\omega }_{0}t+\alpha )-\frac{f_0}{2{\omega }_0}t\cos ({\omega }_{0}t+\beta )}$   とした場合

初期条件より

${\displaystyle x(0)=A\cos (0+\alpha )-\frac{f_0}{2{\omega }_0}\cdot 0\cdot \cos (0+\beta )}$ ${\displaystyle =A\cos \alpha =x_0}$

    ⇒     ${\displaystyle A\sin \alpha =-\frac{v_0}{{\omega }_0}-\frac{f_0}{2{\omega }_0^2}\cos \beta }$

なので，任意定数 ${\displaystyle A}$ ，${\displaystyle \alpha }$ は

を満たすように決定する．この場合，${\displaystyle A}$ については正負の，${\displaystyle \alpha }$ については ${\displaystyle n\pi }$ （ ${\displaystyle n}$ ：整数）の任意性が残っているが， ${\displaystyle A>0}$ と制限すると，

であり，${\displaystyle \alpha }$ については，次の2式

${\displaystyle \cos \alpha =\frac{x_0}{A}}$  ，  ${\displaystyle \sin \alpha =-\frac{1}{A}\left(\frac{v_0}{{\omega }_0}+\frac{f_0}{2{\omega }_0^2}\cos \beta \right)}$     ······ 

を同時に満たすように ${\displaystyle -\pi <\alpha \le \pi }$ の範囲内で考えれば，一意的に決まる．

例として，${\displaystyle \omega /{\omega }_0=0.50}$ , ${\displaystyle 0.90}$ , ${\displaystyle 1}$ について，初期条件が ${\displaystyle x(0)=0}$ ，${\displaystyle v(0)=0}$ の場合のグラフを以下に示す．赤点線は単振動の項 ${\displaystyle x_h}$ ，緑点線は強制変動の項 ${\displaystyle x_p}$ を表す．

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最終更新日：2026年1月27日

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