モンキー・ハンティング (monkey hunting)

モンキー・ハンティング (monkey hunting) とは「銃を持ったハンターが木から落ちたサルを狙ったときに，どのように銃を撃てば弾丸がサルにあたるか？」という問題である．

図1のように，水平方向に ${\displaystyle x}$ 軸，鉛直上向きに ${\displaystyle y}$ 軸をとり，原点 ${\displaystyle \text{O}}$ にある小球 ${\displaystyle \text{A}}$ を ${\displaystyle x}$ 軸とのなす角 ${\displaystyle \theta }$ の方向に，時刻 ${\displaystyle t=0}$ において，初速度 ${\displaystyle {\mathit{v}}_0}$ で位置 ${\displaystyle (R,h)}$ にある小球 ${\displaystyle \text{B}}$ を狙って投射した．それと同時に，小球 ${\displaystyle \text{B}}$ を初速ゼロで落下させた．重力加速度の大きさを ${\displaystyle g}$ とし，空気抵抗を無視できるものとする．

この状況において，ある時刻で小球 ${\displaystyle \text{A}}$ （弾丸）が必ず小球 ${\displaystyle \text{B}}$ （サル）と衝突することを以下で見ていく．

小球 ${\displaystyle \text{B}}$ を狙って小球 ${\displaystyle \text{A}}$ を投射しているので，角 ${\displaystyle \theta }$ は

${\displaystyle \tan \theta =\frac{h}{R}}$

を満たす．小球 ${\displaystyle \text{A}}$ の初速度の大きさを ${\displaystyle v_0=\left|{\mathit{v}}_0\right|}$ とすると，初速度 ${\displaystyle {\mathit{v}}_0=(v_0\cos \theta ,v_0\sin \theta )}$ なので，小球 ${\displaystyle \text{A}}$ の ${\displaystyle x}$ 座標が ${\displaystyle R}$ に達するまでの，時刻 ${\displaystyle t}$ における小球 ${\displaystyle \text{A}}$ の位置 ${\displaystyle {\mathit{r}}_{\text{A}}=}$ ${\displaystyle \left(x_{\text{A}}(t),y_{\text{A}}(t)\right)}$ は

${\displaystyle x_{\text{A}}(t)=v_{0}t\cos \theta }$ ,     ${\displaystyle y_{\text{A}}(t)=v_{0}t\sin \theta -\frac{1}{2}g{t}^2}$

と表される（加速度 ${\displaystyle \mathit{a}=(0,-g)}$ の等加速度運動）．また，小球 ${\displaystyle \text{B}}$ の位置 ${\displaystyle {\mathit{r}}_{\text{B}}=}$ ${\displaystyle \left(x_{\text{A}}(t),y_{\text{A}}(t)\right)}$ は

${\displaystyle x_{\text{B}}(t)=R}$ ,     ${\displaystyle y_{\text{B}}(t)=h-\frac{1}{2}g{t}^2}$

と表される．このとき，図2に示すように，重力の影響による2つの小球の落下距離は共に ${\displaystyle \frac{1}{2}g{t}^2}$ である．小球 ${\displaystyle \text{A}}$ から小球 ${\displaystyle \text{B}}$ へのベクトルは

${\displaystyle {\mathit{r}}_{\text{AB}}={\mathit{r}}_{\text{B}}-{\mathit{r}}_{\text{A}}}$ ${\displaystyle =\left(x_{\text{B}}(t)-x_{\text{A}}(t),y_{\text{B}}(t)-y_{\text{A}}(t)\right)}$ ${\displaystyle =\left(R-v_{0}t\cos \theta ,h-v_{0}t\sin \theta \right)}$ ${\displaystyle =\left(R-v_{0}t\cos \theta ,R\tan \theta -v_{0}t\sin \theta \right)}$ ${\displaystyle =\left(v_0\cos \theta \left(\frac{R}{v_0\cos \theta }-t\right),v_0\sin \theta \left(\frac{R}{v_0\cos \theta }-t\right)\right)}$ ${\displaystyle ={\mathit{v}}_0\left(\frac{R}{v_0\cos \theta }-t\right)}$

となるので，小球 ${\displaystyle \text{A}}$ と小球 ${\displaystyle \text{B}}$ を結ぶ直線はどの時刻においても常に初速度 ${\displaystyle {\mathit{v}}_0}$ に平行，つまり，水平面に対して ${\displaystyle \tan \theta =h/R}$ を満たす方向となっている．

上式において ${\displaystyle \frac{R}{v_0\cos \theta }-t=0}$ のとき，つまり，時刻 ${\displaystyle t_R=\frac{R}{v_0\cos \theta }}$ において，２つの小球の位置は一致し，衝突する（図3）．このとき，小球 ${\displaystyle \text{B}}$ が落下した距離は

${\displaystyle \frac{1}{2}g{t}_R^2=\frac{1}{2}g{\left(\frac{R}{v_0\cos \theta }\right)}^2}$ ${\displaystyle =\frac{g{R}^2}{2v_0^2}\cdot \frac{1}{{\cos }^2\theta }}$ ${\displaystyle =\frac{g{R}^2}{2v_0^2}(1+{\tan }^2\theta )}$ ${\displaystyle =\frac{g{R}^2}{2v_0^2}\left(1+\frac{h^2}{R^2}\right)}$ ${\displaystyle =\frac{g(R^2+h^2)}{2v_0^2}}$

となる．したがって，小球 ${\displaystyle \text{B}}$ が地面に到達する前に衝突が起こるための，初速 ${\displaystyle v_0}$ の満たす条件は

${\displaystyle \frac{g(R^2+h^2)}{2v_0^2}<h}$    より    ${\displaystyle v_0>\sqrt{\frac{g(R^2+h^2)}{2h}}}$

である．

下にモンキー・ハンティングのアニメーションを示す．右側は小球 ${\displaystyle \text{B}}$ （青球）から小球 ${\displaystyle \text{A}}$ （赤球）を見たときの視点でのアニメーションを示している．2つの小球が衝突するまで，小球 ${\displaystyle \text{B}}$ から見た小球 ${\displaystyle \text{A}}$ の相対速度は常に ${\displaystyle {\mathit{v}}_0}$ であるので，小球 ${\displaystyle \text{A}}$ が直線的に速さ ${\displaystyle v_0}$ で接近してくるように見える．（※ アニメーションでは，赤球と青球の位置が一致しても，衝突させずにすり抜けさせている．）

小球 ${\displaystyle \text{B}}$ を狙って小球 ${\displaystyle \text{A}}$ を投射したときに，2つの小球が衝突する様子をモンキー・ハンティングのシミュレーションで確認してみよう．

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