単振り子 : 運動方程式 (equation of motion) [ 直交座標系における導出 ]
鉛直面内で回転運動できるように点 O で固定した棒の先端に質量
の質点を取り付けた単振り子について,図のように点 O を原点として,鉛直面内の鉛直下向きに
軸,水平方向に
軸をとり,
軸から測った棒の角度を
とする(図の反時計回りに回転する角の向きを正にとる).質点が円周に沿って運動するとこの角度は時々刻々変化するため,
は時間の関数
である.
棒の長さ(質点の回転半径)を
とすると,質点 P の位置は
- - - (1)
と表せるので,質点の速度
および加速度
は
- - - (2)
- - - (3)
となる.一方,質点に作用する力は大きさ
で鉛直下向きの重力と,棒から作用する動径方向 (radial direction) の力
(張力の場合,正とする)であり,
- - - (4)
と表される.したがって,運動方程式を成分ごとに書くと,
成分は
より
- - - (5)
であり,
成分は
より
- - - (6)
である.
次に,
座標系を
回転させた
座標系を考える.
座標系の軸は円周上の質点の位置における動径方向 [
軸 ] と接線方向 (tangential direction) [
軸 ] を向き,
は時々刻々変化するので,これらの軸の向きも時々刻々変化する.
座標系から
座標系への1次変換を表す行列
- - - (7)
を用いると,質点の加速度
の動径方向成分
と接線方向成分
は
であり,式 (3) より
- - - (8)
- - - (9)
となる.同様に,質点に作用する力
の動径方向成分
と接線方向成分
は,式 (4) より
- - - (10)
- - - (11)
となる.したがって,運動方程式の動径方向成分は
より
⇒
- - - (12)
であり,運動方程式の接線方向成分は
より
- - - (13)
と表される.
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