単振り子 : 運動方程式 (equation of motion) [ 直交座標系における導出 ]

鉛直面内で回転運動できるように点 O で固定した棒の先端に質量 m の質点を取り付けた単振り子について,図のように点 O を原点として,鉛直面内の鉛直下向きに x 軸,水平方向に y 軸をとり, x 軸から測った棒の角度を θ とする(図の反時計回りに回転する角の向きを正にとる).質点が円周に沿って運動するとこの角度は時々刻々変化するため, θ は時間の関数 θ(t) である.

棒の長さ(質点の回転半径)を L とすると,質点 P の位置は

r = (x , y) = ( Lcosθ , Lsinθ )     - - - (1)

と表せるので,質点の速度 v および加速度 a

v= ( vx , vy ) = dr dt = ( Lsinθ dθ dt , Lcosθ dθ dt )     - - - (2)

a= ( ax , ay ) = dv dt = ( Lcosθ ( dθ dt ) 2 Lsinθ d2θ dt2 , Lsinθ ( dθ dt ) 2 +Lcosθ d2θ dt2 )     - - - (3)

となる.一方,質点に作用する力は大きさ mg で鉛直下向きの重力と,棒から作用する動径方向 (radial direction) の力 S (張力の場合,正とする)であり,

F= ( Fx , Fy ) = ( mgScosθ , Ssinθ )     - - - (4)

と表される.したがって,運動方程式を成分ごとに書くと, x 成分は max =Fx  より

mL { cosθ ( dθ dt ) 2 sinθ d2θ dt2 } = mgScosθ     - - - (5)

であり, y 成分は may =Fy  より

mL { sinθ ( dθ dt ) 2 +cosθ d2θ dt2 } = Ssinθ     - - - (6)

である.


次に, xy 座標系を θ 回転させた rt 座標系を考える. rt 座標系の軸は円周上の質点の位置における動径方向 [ r 軸 ] と接線方向 (tangential direction) [ t 軸 ] を向き, θ は時々刻々変化するので,これらの軸の向きも時々刻々変化する. xy 座標系から rt 座標系への1次変換を表す行列

( cosθ sinθ sinθ cosθ )     - - - (7)

を用いると,質点の加速度 a の動径方向成分 ar と接線方向成分 at

( ar at ) = ( cosθ sinθ sinθ cosθ ) ( ax ay ) =( axcosθ +aysinθ axsinθ +aycosθ )

であり,式 (3) より

ar = axcosθ +aysinθ
    = { Lcosθ ( dθdt ) 2 Lsinθ d2θ dt2 }cosθ + { Lsinθ ( dθdt ) 2 +Lcosθ d2θ dt2 }sinθ
    =Lcos2θ ( dθdt ) 2 Lsinθcosθ d2θ dt2 Lsin2θ ( dθdt ) 2 +Lsinθcosθ d2θ dt2
    =L ( cos2θ +sin2θ ) ( dθdt ) 2
    =L ( dθdt ) 2     - - - (8)

at = axsinθ +aycosθ
    = { Lcosθ ( dθdt ) 2 Lsinθ d2θ dt2 }sinθ +{ Lsinθ ( dθdt ) 2 +Lcosθ d2θ dt2 }cosθ
    = Lsinθcosθ ( dθdt ) 2 +Lsin2θ d2θ dt2 Lsinθcosθ ( dθdt ) 2 +Lcos2θ d2θ dt2
    =L ( sin2θ +cos2θ ) d2θ dt2
    =L d2θ dt2     - - - (9)

となる.同様に,質点に作用する力 F の動径方向成分 Fr と接線方向成分 Ft は,式 (4) より

Fr = Fxcosθ +Fysinθ
    = ( mgScosθ )cosθ Ssinθsinθ
    = mgcosθ S ( cos2θ +sin2θ )
    =mgcosθS     - - - (10)

Ft = Fxsinθ +Fycosθ
    =( mgScosθ )sinθ Ssinθcosθ
    =mgsinθ +Ssinθcosθ Ssinθcosθ
    =mgsinθ     - - - (11)

となる.したがって,運動方程式の動径方向成分は mar =Fr より

mL ( dθdt ) 2 =mgcosθS
  ⇒   mL ( dθdt ) 2 =Smgcosθ     - - - (12)

であり,運動方程式の接線方向成分は mat =Ft より

mL d2θ dt2 =mgsinθ     - - - (13)

と表される.


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