単振り子 : 運動方程式 (equation of motion) [ 直交座標系における導出 ]
鉛直面内で回転運動できるように点 O で固定した棒の先端に質量
m
の質点を取り付けた単振り子について,図のように点 O を原点として,鉛直面内の鉛直下向きに
x
軸,水平方向に
y
軸をとり,
x
軸から測った棒の角度を
θ
とする(図の反時計回りに回転する角の向きを正にとる).質点が円周に沿って運動するとこの角度は時々刻々変化するため,
θ
は時間の関数
θ(t)
である.
棒の長さ(質点の回転半径)を
L
とすると,質点 P の位置は
r
=
(x
,
y)
=
(
Lcosθ
,
Lsinθ
)
- - - (1)
と表せるので,質点の速度
v
および加速度
a
は
v=
(
vx
,
vy
)
=
dr
dt
=
(
−Lsinθ
dθ
dt
,
Lcosθ
dθ
dt
)
- - - (2)
a=
(
ax
,
ay
)
=
dv
dt
=
(
−Lcosθ
(
dθ
dt
)
2
−Lsinθ
d2θ
dt2
,
−Lsinθ
(
dθ
dt
)
2
+Lcosθ
d2θ
dt2
)
- - - (3)
となる.一方,質点に作用する力は大きさ
mg
で鉛直下向きの重力と,棒から作用する動径方向 (radial direction) の力
S
(張力の場合,正とする)であり,
F=
(
Fx
,
Fy
)
=
(
mg−Scosθ
,
−Ssinθ
)
- - - (4)
と表される.したがって,運動方程式を成分ごとに書くと,
x
成分は
max
=Fx
より
mL
{
−cosθ
(
dθ
dt
)
2
−sinθ
d2θ
dt2
}
=
mg−Scosθ
- - - (5)
であり,
y
成分は
may
=Fy
より
mL
{
−sinθ
(
dθ
dt
)
2
+cosθ
d2θ
dt2
}
=
−Ssinθ
- - - (6)
である.
次に,
xy
座標系を
θ
回転させた
rt
座標系を考える.
rt
座標系の軸は円周上の質点の位置における動径方向 [
r
軸 ] と接線方向 (tangential direction) [
t
軸 ] を向き,
θ
は時々刻々変化するので,これらの軸の向きも時々刻々変化する.
xy
座標系から
rt
座標系への1次変換を表す行列
(
cosθ
sinθ
−sinθ
cosθ
)
- - - (7)
を用いると,質点の加速度
a
の動径方向成分
ar
と接線方向成分
at
は
(
ar
at
)
=
(
cosθ
sinθ
−sinθ
cosθ
)
(
ax
ay
)
=(
axcosθ
+aysinθ
−axsinθ
+aycosθ
)
であり,式 (3) より
ar
=
axcosθ
+aysinθ
=
{
−Lcosθ
(
dθdt
)
2
−Lsinθ
d2θ
dt2
} cosθ
+
{
−Lsinθ
(
dθdt
)
2
+Lcosθ
d2θ
dt2
} sinθ
=−Lcos2θ
(
dθdt
)
2
−Lsinθcosθ
d2θ
dt2
−Lsin2θ
(
dθdt
)
2
+Lsinθcosθ
d2θ
dt2
=−L
(
cos2θ
+sin2θ
)
(
dθdt
)
2
=−L
(
dθdt
)
2
- - - (8)
at
=
−axsinθ
+aycosθ
=
−{
−Lcosθ
(
dθdt
)
2
−Lsinθ
d2θ
dt2
} sinθ
+{
−Lsinθ
(
dθdt
)
2
+Lcosθ
d2θ
dt2
} cosθ
=
Lsinθcosθ
(
dθdt
)
2
+Lsin2θ
d2θ
dt2
−Lsinθcosθ
(
dθdt
)
2
+Lcos2θ
d2θ
dt2
=L
(
sin2θ
+cos2θ
)
d2θ
dt2
=L
d2θ
dt2
- - - (9)
となる.同様に,質点に作用する力
F
の動径方向成分
Fr
と接線方向成分
Ft
は,式 (4) より
Fr
=
Fxcosθ
+Fysinθ
=
(
mg−Scosθ
)cosθ
−Ssinθsinθ
=
mgcosθ
−S
(
cos2θ
+sin2θ
)
=mgcosθ−S
- - - (10)
Ft
=
−Fxsinθ
+Fycosθ
=−(
mg−Scosθ
)sinθ
−Ssinθcosθ
=−mgsinθ
+Ssinθcosθ
−Ssinθcosθ
=−mgsinθ
- - - (11)
となる.したがって,運動方程式の動径方向成分は
mar
=Fr
より
−mL
(
dθdt
)
2
=mgcosθ−S
⇒
mL
(
dθdt
)
2
=S−mgcosθ
- - - (12)
であり,運動方程式の接線方向成分は
mat
=Ft
より
mL
d2θ
dt2
=−mgsinθ
- - - (13)
と表される.
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