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重心 (center of gravity)

複数の質点からなる質点系や大きさをもつ物体のように，質量が空間に広がって分布している系において，系外の物体から系の各質量部分に作用する万有引力（重力）の合力の作用点のことを重心 (center of gravity) という．系の各質量部分に作用する重力がもたらす効果は，それらの重力の合力が重心に作用する効果と等価である．

一般に重心は質量中心とは異なるが，重力が系の全体にわたり一様であると近似すると，重心は質量中心に一致する．このことは地表付近の小さな物体を考える限り，非常に良い近似であり，多くの場面で両者を区別する必要はない．

重力を一様とした場合の重心

重力が一様である場合，質量部分に作用する重力による，重心まわりの力のモーメント（トルク）の和がゼロとなる（力のモーメントがつり合う）点として，重心 ${\displaystyle {\mathit{R}}_{\text{CG}}}$ を定義することができる．

${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (\ge 2)}$ 個の質点からなる質点系について，${\displaystyle i}$ 番目の質点の質量を ${\displaystyle m_i}$ ，位置を ${\displaystyle {\mathit{r}}_i}$ とし，重力加速度を ${\displaystyle \mathit{g}}$ とすると，重心 ${\displaystyle {\mathit{R}}_{\text{CG}}}$ のまわりの力のモーメント（トルク）のつり合いは

${\displaystyle \sum _{i=1}^n({\mathit{r}}_i-{\mathit{R}}_{\text{CG}})\times m_i\mathit{g}=\mathbf{0}}$      ······ (1)

と表せる．上式を整理すると，

(1) ⇒     ${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^n{m}_i\right){\mathit{R}}_{\text{CG}}\times \mathit{g}=\left(\sum _{i=1}^n{m}_i{\mathit{r}}_i\right)\times \mathit{g}}$
      ⇒     ${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^n{m}_i\right){\mathit{R}}_{\text{CG}}=\sum _{i=1}^n{m}_i{\mathit{r}}_i}$

となって

${\displaystyle {\mathit{R}}_{\text{CG}}=\frac{\sum _{i=1}^n{m}_i{\mathit{r}}_i}{\sum _{i=1}^n{m}_i}}$      ······ (2)

が得られる．これは質点系の質量中心と同じ式となる．

大きさをもつ質量 ${\displaystyle M}$ の物体については，物体を微小要素に細分化し，${\displaystyle i}$ 番目の微小要素の質量を ${\displaystyle \Delta m_i}$ として，式(2)において微小要素の数 ${\displaystyle n}$ を無限大にする極限を考える．すると，式(2)の和が全質量 ${\displaystyle M}$ にわたる積分に置き換わり，次式が得られる．

${\displaystyle {\mathit{R}}_{\text{CG}}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\sum _{i=1}^n\Delta m_i{\mathit{r}}_i}{\sum _{i=1}^n\Delta m_i}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{M}{\int }_M\mathit{r}dm}$      ······ (3)

重力の図示の仕方

質点系や大きさをもつ物体に作用する重力を図示する場合，その系の重心 ${\displaystyle {\mathit{R}}_{\text{CG}}}$ が始点となるように全質量 ${\displaystyle M}$ に対する重力ベクトル ${\displaystyle M\mathit{g}}$ を描く．

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最終更新日2025年8月18日

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