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重心 (center of gravity)

複数の質点からなる質点系や大きさをもつ物体のように，質量が空間に広がって分布している系において，系外の物体から系の各質量部分に作用する万有引力（重力）の合力の作用点のことを重心 (center of gravity) という．系の各質量部分に作用する重力がもたらす効果は，それらの重力の合力が重心に作用する効果と等価である．

一般に重心は質量中心とは異なるが，重力が系の全体にわたり一様であると近似すると，重心は質量中心に一致する．このことは地表付近の小さな物体を考える限り，非常に良い近似であり，多くの場面で両者を区別する必要はない．

重力を一様とした場合の重心

重力が一様である場合，質量部分に作用する重力による，重心まわりの力のモーメント（トルク）の和がゼロとなる（力のモーメントがつり合う）点として，重心 ${\displaystyle {\mathit{R}}_{\text{CG}}}$ を定義することができる．

${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (\ge 2)}$ 個の質点からなる質点系について，${\displaystyle i}$ 番目の質点の質量を ${\displaystyle m_i}$ ，位置を ${\displaystyle {\mathit{r}}_i}$ とし，重力加速度を ${\displaystyle \mathit{g}}$ とすると，重心 ${\displaystyle {\mathit{R}}_{\text{CG}}}$ のまわりの力のモーメント（トルク）のつり合いは

${\displaystyle \sum _{i=1}^n({\mathit{r}}_i-{\mathit{R}}_{\text{CG}})\times m_i\mathit{g}}$ ${\displaystyle =\sum _{i=1}^n{m}_i({\mathit{r}}_i-{\mathit{R}}_{\text{CG}})\times \mathit{g}}$ ${\displaystyle =\mathbf{0}}$      ······

と表せる．外積の性質から，上式が成立するには

${\displaystyle \sum _{i=1}^n{m}_i({\mathit{r}}_i-{\mathit{R}}_{\text{CG}})=\alpha \mathit{g}}$      ······

であればよい（ ${\displaystyle \alpha }$：任意定数）．この任意性は，重心 ${\displaystyle {\mathit{R}}_{\text{CG}}}$ が図1の重力 ${\displaystyle M\mathit{g}}$ の作用線上のどこであってもよいことを意味する．

しかし，系が重心まわりに回転したとしても，同様に重心まわりの重力のモーメントがつり合わなければならない．例えば，図2のように，図1の状態から重心まわりに角 ${\displaystyle \theta }$ だけ回転したとし，そのときの ${\displaystyle i}$ 番目の質点の位置を ${\displaystyle {\mathit{r}}_i^{\prime }}$ とすると，

${\displaystyle \sum _{i=1}^n{m}_i({\mathit{r}}_i^{\prime }-{\mathit{R}}_{\text{CG}})\times \mathit{g}}$ ${\displaystyle =\mathbf{0}}$      ······

が成立し，

${\displaystyle \sum _{i=1}^n{m}_i({\mathit{r}}_i^{\prime }-{\mathit{R}}_{\text{CG}})={\alpha }^{\prime }\mathit{g}}$      ······

である（ ${\displaystyle {\alpha }^{\prime }}$：任意定数）．ここで，重心まわりの回転行列を ${\displaystyle R_{\theta }}$ とすると，

${\displaystyle {\mathit{r}}_i^{\prime }-{\mathit{R}}_{\text{CG}}=R_{\theta }({\mathit{r}}_i-{\mathit{R}}_{\text{CG}})}$      ······

なので，式,より，

⇒     ${\displaystyle \sum _{i=1}^n{m}_i({\mathit{r}}_i^{\prime }-{\mathit{R}}_{\text{CG}})=R_{\theta }\sum _{i=1}^n{m}_i({\mathit{r}}_i-{\mathit{R}}_{\text{CG}})}$ ${\displaystyle =\alpha R_{\theta }\mathit{g}}$ ${\displaystyle ={\alpha }^{\prime }\mathit{g}}$

となる．任意の回転角 ${\displaystyle \theta }$ で上式が成り立つためには ${\displaystyle \alpha ={\alpha }^{\prime }=0}$ でなければならない．したがって，

⇒     ${\displaystyle \sum _{i=1}^n{m}_i({\mathit{r}}_i-{\mathit{R}}_{\text{CG}})=\mathbf{0}}$
      ⇒     ${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^n{m}_i\right){\mathit{R}}_{\text{CG}}=\sum _{i=1}^n{m}_i{\mathit{r}}_i}$

となって

${\displaystyle {\mathit{R}}_{\text{CG}}=\frac{\sum _{i=1}^n{m}_i{\mathit{r}}_i}{\sum _{i=1}^n{m}_i}}$      ······

が得られる．これは質点系の質量中心と同じ式となる．

また，図1の状態から重心まわりに角 ${\displaystyle \theta }$ だけ回転させたときに，図1の重力の合力の作用線を角 ${\displaystyle \theta }$ 回転させた線（図2の点線）と，図2の重力の合力の作用線の交点が，その系の重心の位置 ${\displaystyle {\mathit{R}}_{\text{CG}}}$ を表している．

大きさをもつ質量 ${\displaystyle M}$ の物体については，物体を微小要素に細分化し，${\displaystyle i}$ 番目の微小要素の質量を ${\displaystyle \Delta m_i}$ として，式(2)において微小要素の数 ${\displaystyle n}$ を無限大にする極限を考える．すると，式(2)の和が全質量 ${\displaystyle M}$ にわたる積分に置き換わり，次式が得られる．

${\displaystyle {\mathit{R}}_{\text{CG}}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\sum _{i=1}^n\Delta m_i{\mathit{r}}_i}{\sum _{i=1}^n\Delta m_i}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{M}{\int }_M\mathit{r}dm}$      ······

重力の図示の仕方

質点系や大きさをもつ物体に作用する重力を図示する場合，その系の重心 ${\displaystyle {\mathit{R}}_{\text{CG}}}$ が始点となるように全質量 ${\displaystyle M}$ に対する重力ベクトル ${\displaystyle M\mathit{g}}$ を描く．

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最終更新日2026年5月5日

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