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角速度ベクトルの導出 (derivation of angular velocity vector)

物体が回転中心 C のまわりで回転運動している場合を考え，物体の位置 ${\displaystyle r}$ ，速度 ${\displaystyle v}$ ，加速度 ${\displaystyle a}$ ，回転中心 C の位置 ${\displaystyle r_{\text{C}}}$ とし，C から物体へのベクトルを ${\displaystyle R\equiv r-r_{\text{C}}}$ とする． ${\displaystyle R=\left|R\right|}$ ， ${\displaystyle v=\left|v\right|}$ を用いると，角速度の大きさは ${\displaystyle \omega =v/R}$ ，回転軸方向の単位ベクトルは

${\displaystyle e_{\omega }=\frac{R\times v}{|R\times v|}}$ ${\displaystyle =\frac{R\times v}{Rv}}$

である（ ${\displaystyle R\perp v}$ ）ので，物体の角速度ベクトル ${\displaystyle \omega }$ は

${\displaystyle \omega =\omega e_{\omega }}$ ${\displaystyle =\frac{v}{R}\frac{R\times v}{Rv}}$ ${\displaystyle =\frac{R\times v}{R^2}}$ ${\displaystyle =\frac{R}{R}\times \frac{v}{R}}$

と表すことができる．また，

${\displaystyle \frac{v\times a}{|v\times a|}}$ ${\displaystyle =\frac{R\times v}{|R\times v|}=e_{\omega }}$  ，および   ${\displaystyle R=\frac{v^3}{|v\times a|}}$  （※）

であるので，物体の角速度ベクトル ${\displaystyle \omega }$ は

${\displaystyle \omega =\omega e_{\omega }}$ ${\displaystyle =\frac{v}{R}\frac{v\times a}{|v\times a|}}$ ${\displaystyle =\frac{|v\times a|}{v^2}\frac{v\times a}{|v\times a|}}$ ${\displaystyle =\frac{v\times a}{v^2}}$ ${\displaystyle =\frac{v}{v}\times \frac{a}{v}}$

と表すこともできる．

ちなみに，向心加速度は

${\displaystyle a_n=\frac{(v\times a)\times v}{v^2}}$

と表される（※）ので，C から物体へのベクトル ${\displaystyle R}$ は

${\displaystyle R=\frac{v\times (v\times a)}{|v\times (v\times a)|}R}$ ${\displaystyle =\frac{v\times (v\times a)}{v|v\times a|}\frac{v^3}{|v\times a|}}$ ${\displaystyle ={\left(\frac{v}{|v\times a|}\right)}^{2}v\times (v\times a)}$

で与えられる．

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