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斜面を転がり落ちる剛体球 (a rigid sphere rolling down a slope)

水平面とのなす角が ${\displaystyle \beta }$ の粗い斜面上の点 ${\displaystyle \text{O}}$に静止させた，質量 ${\displaystyle M}$ ，半径 ${\displaystyle R}$ の一様な剛体球を静かに放すと，この剛体球は斜面上を滑ることなく転がり落ちた．図1に示すように，斜面に沿って下向きに ${\displaystyle x}$ 軸，斜面に垂直に ${\displaystyle y}$ をとり，重力加速度の大きさを ${\displaystyle g}$ として，この剛体球の運動を考える．また，この座標系での剛体球の重心 ${\displaystyle \text{G}}$ の位置を ${\displaystyle {\mathit{r}}_{\text{G}}=(X,Y)}$ ，剛体球が点 ${\displaystyle \text{O}}$ に接している状態を基準とした剛体球の回転角を ${\displaystyle \theta }$ ，剛体球の重心 ${\displaystyle \text{G}}$ を通る回転軸周りの慣性モーメントを ${\displaystyle I_{\text{G}}}$ とする．

◆ 剛体球に作用する力

図2に示すように剛体球に作用する力は

・重力（作用点は重心 ${\displaystyle \text{G}}$ ）：
       ${\displaystyle M\mathit{g}=(Mg\sin \beta ,Mg\cos \beta )}$
・斜面からの垂直抗力：
       ${\displaystyle \mathit{N}=(0,-N)}$
・剛体球と斜面との間の摩擦力：
       ${\displaystyle \mathit{F}=(-F,0)}$

である．ここで ${\displaystyle N}$ ，${\displaystyle F}$ はそれぞれ，垂直抗力の大きさ，摩擦力の大きさである．また，剛体球は斜面上を滑らないことから，この摩擦力は静止摩擦力である．

◆ 剛体球の重心の運動方程式

剛体球の重心 ${\displaystyle \text{G}}$ の並進運動についての運動方程式 ${\displaystyle M\frac{d^2{\mathit{r}}_{\text{G}}}{d{t}^2}=M\mathit{g}+\mathit{N}+\mathit{F}}$ を成分ごとに記述すると

重心の運動方程式の ${\displaystyle x}$ 方向成分： ${\displaystyle M\frac{d^{2}X}{d{t}^2}=Mg\sin \beta -F}$     --- (1)

重心の運動方程式の ${\displaystyle y}$ 方向成分： ${\displaystyle M\frac{d^{2}Y}{d{t}^2}=Mg\cos \beta -N=0}$     --- (2)

となる．ここで，剛体球の重心 ${\displaystyle \text{G}}$ は ${\displaystyle y}$ 方向において運動しないので，${\displaystyle y}$ 方向の力はつり合っており，式(2)の右辺はゼロとなる．

◆ 剛体球の回転運動方程式

剛体球の重心 ${\displaystyle \text{G}}$ のまわりの力のモーメント（トルク）の回転軸方向（${\displaystyle z}$ 方向）成分は ${\displaystyle \tau =RF}$ であるので， 剛体球の回転運動方程式は次式となる：

${\displaystyle I_{\text{G}}\frac{d^2\theta }{d{t}^2}=\tau =RF}$     --- (3)

【式(3)の導出】

重心 ${\displaystyle \text{G}}$ を通る固定軸のまわりで回転する剛体について，その回転軸まわりの剛体の慣性モーメントを ${\displaystyle I_{\text{G}}}$ ，回転運動の角速度を ${\displaystyle \omega }$ とすると，剛体の角運動量の回転軸方向（${\displaystyle z}$ 方向）成分は ${\displaystyle L=I_{\text{G}}\omega }$ と表される．

今の場合，剛体球の重心 ${\displaystyle \text{G}}$ から斜面との接点までの位置ベクトルを ${\displaystyle \mathit{R}=(0,R,0)}$ （${\displaystyle z}$ 成分は ${\displaystyle xy}$ 面に垂直な方向の成分）とすると，重心 ${\displaystyle \text{G}}$ のまわりの，剛体球に作用する力のモーメント（トルク）は

${\displaystyle \mathit{\tau }=\mathbf{0}\times M\mathit{g}+\mathit{R}\times \mathit{N}+\mathit{R}\times \mathit{F}}$ ${\displaystyle =(0,0,RF)}$

となる（外積の計算を実行するために，各々の力において値が ${\displaystyle 0}$ の ${\displaystyle z}$ 成分を考慮する）．したがって，力のモーメントの回転軸方向（${\displaystyle z}$ 方向）成分は ${\displaystyle \tau =RF}$ であるので，回転運動の法則より

${\displaystyle \frac{dL}{dt}=I_{\text{G}}\frac{d\omega }{dt}}$ ${\displaystyle =I_{\text{G}}\frac{d^2\theta }{dt}}$ ${\displaystyle =RF}$

が求まる．ここで， ${\displaystyle \omega =\frac{d\theta }{dt}}$ を用いた．

◆ 重心の加速度

剛体球が斜面上を滑らずに転がり落ちるという条件から

である．よって，上の条件を時刻 ${\displaystyle t}$ で微分して

${\displaystyle \frac{dX}{dt}=R\frac{d\theta }{dt}}$     --- (4)

が得られ，式(4)をさらに時刻 ${\displaystyle t}$ で微分して

${\displaystyle \frac{d^{2}X}{d{t}^2}=R\frac{d^2\theta }{d{t}^2}}$     --- (5)

が得られる．

式(1)と式(3)を連立させて ${\displaystyle F}$ を消去し，さらに式(5)の関係を用いて整理すると

${\displaystyle \left(M+\frac{I_{\text{G}}}{R^2}\right)\frac{d^{2}X}{d{t}^2}=Mg\sin \beta }$     --- (6)

が得られる．したがって，剛体球の重心 ${\displaystyle \text{G}}$ の加速度の ${\displaystyle x}$ 方向成分は次式となる：

${\displaystyle \frac{d^{2}X}{d{t}^2}=\frac{g\sin \beta }{1+\frac{I_{\text{G}}}{M{R}^2}}}$     --- (7)

式(7)の右辺は時刻に依らず一定の値をとることから，剛体球の重心 ${\displaystyle \text{G}}$ は斜面に沿って等加速度直線運動することが分かる．

【摩擦がない場合との比較】

質量 ${\displaystyle M}$ ，半径 ${\displaystyle R}$ の一様な剛体球の重心を通る回転軸まわりの慣性モーメントは ${\displaystyle I_{\text{G}}=\frac{2}{5}M{R}^2}$ なので，式(7)は

${\displaystyle \frac{d^{2}X}{d{t}^2}=\frac{g\sin \beta }{1+\frac{2}{5}}}$ ${\displaystyle =\frac{5}{7}g\sin \beta }$     --- (9)

となり，摩擦がなく剛体球が回転せずに滑り落ちるときの加速度(8)の ${\displaystyle 5/7}$ 倍であることが分かる．剛体球以外の球殻や円柱，円筒の場合でも，それぞれに対応する慣性モーメント ${\displaystyle I_{\text{G}}}$ の値を代入すれば，各剛体に対応する加速度が求まる（⇒ 様々な剛体の慣性モーメント）．

◆ 角加速度，静止摩擦力

式(5)，(7)より，剛体球の回転運動の角加速度 ${\displaystyle \alpha }$ は

${\displaystyle \alpha =\frac{d^2\theta }{d{t}^2}=\frac{1}{R}\cdot \frac{g\sin \beta }{1+\frac{I_{\text{G}}}{M{R}^2}}}$     --- (10)

となり，式(3)から静止摩擦力の大きさ ${\displaystyle F}$が

${\displaystyle F=\frac{I_{\text{G}}}{R^2}\cdot \frac{g\sin \beta }{1+\frac{I_{\text{G}}}{M{R}^2}}}$ ${\displaystyle =\frac{Mg\sin \beta }{1+\frac{M{R}^2}{I_{\text{G}}}}}$     --- (11)

と求まる．剛体球の場合，${\displaystyle I_{\text{G}}=\frac{2}{5}M{R}^2}$ を代入すると， ${\displaystyle F=\frac{2}{7}Mg\sin \beta }$ となる．

◆ 斜面の下端での速さ

重心の速度の斜面下向き（ ${\displaystyle x}$ 方向）成分を ${\displaystyle V=\frac{dX}{dt}}$ ，加速度の ${\displaystyle x}$ 方向成分を ${\displaystyle A=\frac{d^{2}X}{d{t}^2}}$ とおくと，よく知られた等加速度直線運動の公式 ${\displaystyle V^2-V_0^2=2AX}$ が成り立つ．${\displaystyle V}$ を斜面の下端（点 ${\displaystyle \text{P}}$）での速さとして，点 ${\displaystyle \text{O}}$ での速さ ${\displaystyle V_0=0}$ ，${\displaystyle \text{O}\text{P}}$ 間の距離 ${\displaystyle X=\frac{h}{\sin \beta }}$ ，および式(7)を代入して

${\displaystyle V^2=2\cdot \frac{g\sin \beta }{1+\frac{I_{\text{G}}}{M{R}^2}}\cdot \frac{h}{\sin \beta }}$ ${\displaystyle =\frac{2gh}{1+\frac{I_{\text{G}}}{M{R}^2}}}$     ⇒     ${\displaystyle V=\sqrt{\frac{2gh}{1+\frac{I_{\text{G}}}{M{R}^2}}}}$     --- (12)

を得る．ここで，${\displaystyle h}$ は点 ${\displaystyle \text{P}}$ を基準としたときの 点 ${\displaystyle \text{O}}$ の高さである．剛体球の場合，${\displaystyle I_{\text{G}}=\frac{2}{5}M{R}^2}$ を代入すると， ${\displaystyle V=\sqrt{\frac{10}{7}gh}}$ となる．

力学的エネルギー保存則から求める方法

質量 ${\displaystyle M}$ ，重心を通る回転軸まわりの慣性モーメント ${\displaystyle I_{\text{G}}}$ の剛体について，重心が速さ ${\displaystyle V}$ で並進運動し，重心まわりに角速度 ${\displaystyle \omega }$ で回転運動しているとき

並進運動エネルギー： ${\displaystyle K_{\text{T}}=\frac{1}{2}M{V}^2}$
回転運動エネルギー： ${\displaystyle K_{\text{R}}=\frac{1}{2}{I}_{\text{G}}{\omega }^2}$

今の場合，式(4)より ${\displaystyle V=R\omega }$ なので，剛体の運動エネルギーは

${\displaystyle K=K_{\text{T}}+K_{\text{R}}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{2}M{V}^2+\frac{1}{2}\frac{I_{\text{G}}}{R^2}{V}^2}$ ${\displaystyle =\frac{1}{2}M(1+\frac{I_{\text{G}}}{M{R}^2})V^2}$

と表せる．図1の点 ${\displaystyle \text{P}}$ を重力による位置エネルギーの基準点とすると

点 ${\displaystyle \text{O}}$ での力学的エネルギー： ${\displaystyle E_{\text{O}}=Mgh}$
点 ${\displaystyle \text{P}}$ での力学的エネルギー： ${\displaystyle E_{\text{P}}=\frac{1}{2}M(1+\frac{I_{\text{G}}}{M{R}^2})V^2}$

剛体が滑らないので摩擦力は仕事をせず，力学的エネルギーが保存される．したがって， ${\displaystyle E_{\text{O}}=E_{\text{P}}}$ より

${\displaystyle Mgh=\frac{1}{2}M(1+\frac{I_{\text{G}}}{M{R}^2})V^2}$     ⇒     ${\displaystyle V^2=\frac{2gh}{1+\frac{I_{\text{G}}}{M{R}^2}}}$

が得られ，式(12)が求まる．この運動が等加速度直線運動であることを知っていれば，この結果から ${\displaystyle V^2-V_0^2=2AX}$ を利用して，重心の加速度 ${\displaystyle A}$ を求めることができる（つまり，運動方程式を立てなくても加速度を求められるということ）．

斜面を転がり落ちる剛体のシミュレーション

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