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ベクトル積の表現行列 (representation matrix for vector product)

ベクトル a = ( a1 a2 a3 ) とベクトル r = ( r1 r2 r3 ) のベクトル積(外積)は

a × r = ( a2r3 a3r2 a3r1 a1r3 a1r2 a2r1 ) = ( 0 a3 a2 a3 0 a1 a2 a1 0 ) ( r1 r2 r3 ) =Ar

のように表現行列 A = ( 0 a3 a2 a3 0 a1 a2 a1 0 ) を用いて,1次変換として表せる.行列 A 歪対称行列であり,ベクトル積を表現することから,この行列を [a] × と表すことがある( a × r = [a] × r ).

なお, A 正則行列ではない( detA=0 )ので,この変換は正則変換(全単射)ではない.図において, r の終点 P が直線 l 上のどこにあっても,この変換で点 P は同じ点 P に移る.

また, r × a = a × r = Ar である.

A の固有値は実数に限ると 0 のみであり,その固有ベクトルは, a に平行なベクトルである.


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