自由粒子のシュレディンガー方程式

量子は粒子性と波動性の2重性をもち，その挙動はシュレディンガー方程式で表される．量子の質量 ${\displaystyle m}$ [kg]，Dirac 定数 ${\displaystyle \hslash =\frac{h}{\left(2\pi \right)}}$ (プランク定数 ${\displaystyle h=6.626\times {10}^{-34}}$ J・s) として，1次元( ${\displaystyle x}$ 軸)上で力を受けずに自由に運動している粒子のシュレディンガー方程式は

${\displaystyle i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\psi \left(x,t\right)=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\psi \left(x,t\right)}$

と表される．ここで， ${\displaystyle \psi \left(x,t\right)}$ は波動関数， ${\displaystyle P\left(x,t\right)={\left|\psi \left(x,t\right)\right|}^2}$ は量子の存在確率密度を表す．
1次元上の ${\displaystyle x\sim x+dx}$ の間に見出される量子の存在確率は，

${\displaystyle P\left(x,t\right)dx={\left|\psi \left(x,t\right)\right|}^{2}dx}$

と表される．

また，3次元空間 ${\displaystyle \left(r=\left(x,y,z\right)\right)}$ で力を受けずに自由に運動しているシュレディンガー方程式は

${\displaystyle i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\psi \left(r,t\right)=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\Delta \psi \left(r,t\right)}$

と表される．ここで，3次元空間の ${\displaystyle r\sim r+dr}$ の間に見出される量子の存在確率は，

${\displaystyle P\left(r,t\right)dV={\left|\psi \left(r,t\right)\right|}^{2}dV}$ ${\displaystyle \left(dV=dxdydz\right)}$

と表される．ただし，

${\displaystyle \Delta =\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}}$

はラプラシアンと呼ばれ，

${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle ={\nabla }^2}$ ${\displaystyle =\nabla \cdot \nabla }$ ${\displaystyle =\left(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z}\right)\cdot \left(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z}\right)}$ ${\displaystyle =\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}}$

と定義される．

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学生スタッフ作成

2025年8月5日