一次元のシュレディンガー方程式

一次元上を運動する電子に対するシュレディンガー方程式

i t ψ( x,t )=( 2 2m 2 x 2 +V )ψ(x,t)


を,波動方程式とエネルギーの関係式から簡易的に導出する.

一次元の波動方程式

2 f x 2 = 1 v 2 2 f t 2



の解は,以下になる.

f = e i ( k x ω t ) ・・・・・・(1)



オイラーの公式 e ix =cosx+isinx より,

e i( kxωt ) =cos( kxωt )+isin( kxωt )



これは高校で習う波の式 : Αsin( kxωt ) に関連する.


粒子のエネルギーの式は,
  

E = K + V


K J は運動エネルギー, V J はポテンシャルエネルギーを示す.

これに, f を掛けると,

E f = ( K + V ) f = K f + V f ・・・・・・(2)



波と粒子の二重性を表す,アインシュタイン・ド=ブロイの関係式は,

E = ω ・・・・・・(3)     P = k ・・・・・・(4)


k m 1 は波数, ω rad/s は角振動数表す.

また,プランク定数 h = 6.626 × 10 34 J・s を用いると, = h 2 π  と,表される.


(1)から(4)を用いてシュレディンガー方程式を簡易的に導出する.


まず,(1)を t で偏微分すると,

f t = t e i ( k x ω t ) = i ω e i ( k x ω t ) = i ω f



両辺に i を掛けると,

i f t = i ( i ω f ) = ω f


(3)式より,

i f t = E f ・・・・・・(A)



次に,(1)を x で偏微分すると,

f x = x e ikxiωt =ik e kxωt =ikf ・・・・・・(5)



両辺に i を掛けると,

i f x = i ( i k ) f i f x = k f


(4)より,

i f x = P f ・・・・・・(B)



もう1度 x で偏微分をする.

i 2 f x 2 = P f x = P i k f



両辺に再び i を掛け,(4)式; P = k を用いると,

2 2 f x 2 = ( i ) P i k f = P 2 f



電子の質量を m kg として,両辺に 1 2 m を掛けると,

2 2 m 2 f x 2 = P 2 2 m f



運動エネルギー K K = P 2 2 m = 1 2 m v 2   で与えられるため,

2 2 m 2 f x 2 = K f ・・・・・・(C)



(2),(A),(C)式より,

i f t = 2 2 m 2 f x 2 + V f

i t f( x,t )=( 2 2m 2 x 2 +V )f(x,t)



ここで,定数 f(x,t) を任意の関数 ψ(x,t) に変換すると,

i t ψ( x,t )=( 2 2m 2 x 2 +V )ψ(x,t) ・・・・・・(D)



(D)式は,一次元運動する電子に対するシュレディンガー方程式を示す.

  

 【コペンハーゲン解釈】   
コペンハーゲン解釈より,  P= | ψ | 2   を,電子の存在確率密度関数と解釈すると, 下記の式は, x~x+dx の範囲に電子が存在する確率とみなせる.   

Pdx= | ψ | 2 dx



電子は,波動性と粒子性を持つ.  
波動方程式,力学的エネルギー保存則,アインシュタイン・ド=ブロイの関係式を用いて,(D)式は導かれた.



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学生スタッフ作成

2024年3月13日

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