一次元のシュレディンガー方程式

一次元上を運動する電子に対するシュレディンガー方程式

${\displaystyle i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\psi \left(x,t\right)=\left(-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+V\right)\psi (x,t)}$

を，波動方程式とエネルギーの関係式から簡易的に導出する．

一次元の波動方程式

${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial t^2}}$

の解は，以下になる．

${\displaystyle f=e^{i\left(kx-\omega t\right)}}$ ･･････(1)

オイラーの公式 ${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}$ より，

${\displaystyle e^{i\left(kx-\omega t\right)}=\cos \left(kx-\omega t\right)+i\sin \left(kx-\omega t\right)}$

これは高校で習う波の式 : ${\displaystyle {\rm A}\sin \left(kx-\omega t\right)}$ に関連する．


粒子のエネルギーの式は，
　　

${\displaystyle E=K+V}$

※ ${\displaystyle K〔}$J${\displaystyle 〕}$ は運動エネルギー， ${\displaystyle V〔}$J${\displaystyle 〕}$ はポテンシャルエネルギーを示す．

これに， ${\displaystyle f}$ を掛けると，

${\displaystyle Ef=\left(K+V\right)f=Kf+Vf}$ ･･････(2)

波と粒子の二重性を表す，アインシュタイン・ド＝ブロイの関係式は，

${\displaystyle E=\hslash \omega }$ ･･････(3) 　　　 ${\displaystyle P=\hslash k}$ ･･････(4)

※${\displaystyle k〔m^{-1}〕}$ は波数， ${\displaystyle \omega 〔}$rad/s${\displaystyle 〕}$ は角振動数表す．

また，プランク定数 ${\displaystyle h=6.626\times {10}^{-34}}$ J・s を用いると， ${\displaystyle \hslash =\frac{h}{2\pi }}$ 　と，表される．

(1)から(4)を用いてシュレディンガー方程式を簡易的に導出する.


まず，(1)を ${\displaystyle t}$ で偏微分すると，

${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial t}=\frac{\partial }{\partial t}{e}^{i\left(kx-\omega t\right)}=-i\omega e^{i\left(kx-\omega t\right)}=-i\omega f}$

両辺に ${\displaystyle i\hslash }$ を掛けると，

${\displaystyle i\hslash \frac{\partial f}{\partial t}=i\hslash \left(-i\omega f\right)}$ ${\displaystyle =\hslash \omega f}$

(3)式より，

${\displaystyle i\hslash \frac{\partial f}{\partial t}=Ef}$ ･･････(A)

次に，(1)を ${\displaystyle x}$ で偏微分すると，

${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}{e}^{ikx-i\omega t}=ik{e}^{{}^{kx-\omega t}}=ikf}$ ･･････(5)

両辺に ${\displaystyle -i\hslash }$ を掛けると，

${\displaystyle -i\hslash \frac{\partial f}{\partial x}=-i\hslash \left(ik\right)f-i\hslash \frac{\partial f}{\partial x}=\hslash kf}$

(4)より，

${\displaystyle -i\hslash \frac{\partial f}{\partial x}=Pf}$ ･･････(B)

もう1度 ${\displaystyle x}$ で偏微分をする．

${\displaystyle -i\hslash \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}=P\frac{\partial f}{\partial x}=Pikf}$

両辺に再び ${\displaystyle -i\hslash }$ を掛け，(4)式； ${\displaystyle P=\hslash k}$ を用いると，

${\displaystyle -{\hslash }^2\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}=\left(-i\hslash \right)Pikf=P^{2}f}$

電子の質量を ${\displaystyle m〔}$kg${\displaystyle 〕}$ として，両辺に ${\displaystyle \frac{1}{2m}}$ を掛けると，

${\displaystyle -\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}=\frac{P^2}{2m}f}$

運動エネルギー ${\displaystyle K}$ は ${\displaystyle K=\frac{P^2}{2m}=\frac{1}{2}m{v}^2}$　 で与えられるため，

${\displaystyle -\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}=Kf}$ ･･････(C)

(2)，(A)，(C)式より，

${\displaystyle i\hslash \frac{\partial f}{\partial t}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+Vf}$

${\displaystyle i\hslash \frac{\partial }{\partial t}f\left(x,t\right)=\left(-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+V\right)f(x,t)}$

ここで，定数${\displaystyle f(x,t)}$を任意の関数${\displaystyle \psi (x,t)}$に変換すると，

${\displaystyle i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\psi \left(x,t\right)=\left(-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+V\right)\psi (x,t)}$ ･･････(D)

(D)式は，一次元運動する電子に対するシュレディンガー方程式を示す．

　　

　【コペンハーゲン解釈】 　　
コペンハーゲン解釈より，　 ${\displaystyle P={\left|\psi \right|}^2}$　 を，電子の存在確率密度関数と解釈すると， 下記の式は，${\displaystyle x~x+dx}$ の範囲に電子が存在する確率とみなせる． 　　

${\displaystyle Pdx={\left|\psi \right|}^{2}dx}$

電子は，波動性と粒子性を持つ．　　
波動方程式，力学的エネルギー保存則，アインシュタイン・ド＝ブロイの関係式を用いて，(D)式は導かれた．

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学生スタッフ作成

2024年3月13日

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