シュレディンガー方程式

シュレディンガー方程式の定常解：ステップポテンシャル

ポテンシャル中を運動する電子に対するシュレディンガー方程式は，

${\displaystyle i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\psi \left(x,t\right)=\left(-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+V\right)\psi \left(x,t\right)}$

シュレディンガー方程式に ${\displaystyle \psi \left(x,t\right)=\varphi \left(x\right)\phi \left(t\right)}$ を代入すると，

${\displaystyle \frac{1}{\phi \left(t\right)}\left[i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\phi \left(t\right)\right]=\frac{1}{\varphi \left(x\right)}\left[\left(-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+V\right)\varphi \left(x\right)\right]}$

定数関数を ${\displaystyle E}$ として，変数分離とすると，

${\displaystyle i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\phi \left(t\right)=E\phi \left(t\right)}$

${\displaystyle \left(-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+V\right)\varphi \left(x\right)=E\varphi \left(x\right)}$

変数 ${\displaystyle x}$ ， ${\displaystyle t}$ の式に分離したので，偏微分を微分で表し， ${\displaystyle \varphi \left(x\right)}$ に関して以下の式を得る．

${\displaystyle -\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2}{d{x}^2}\varphi \left(x\right)=\left(E-V\right)\varphi \left(x\right)}$

下図のようなステップポテンシャル

${\displaystyle V=\left\{\begin{array}{l}0\left(x<0\right)\\ V_0\left(x\geqq 0\right)\end{array}\right\}}$

において，(A)の解･･･(B)を求める．
(A)の特性方程式より，

${\displaystyle -\frac{\hslash }{2m}{\lambda }^2=E-V}$

${\displaystyle {\lambda }^2=-\frac{2m}{{\hslash }^2}\left(E-V\right)}$

${\displaystyle \lambda =\pm i\sqrt{\frac{2m}{{\hslash }^2}\left(E-V\right)}=\pm \frac{i}{\hslash }\sqrt{2m\left(E-V\right)}}$

[�T] ${\displaystyle x<0}$ のとき
${\displaystyle V=0}$ より，

${\displaystyle \lambda =\pm \frac{i}{\hslash }\sqrt{2mE}=\pm ik\left(k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hslash }\right)}$

重ね合わせの原理より，

${\displaystyle \varphi \left(x\right)=A{e}^{ikx}+B{e}^{-ikx}}$

[�U] ${\displaystyle x\geqq 0}$ のとき
${\displaystyle V=V_0}$ より，

${\displaystyle \lambda =\pm \frac{i}{\hslash }\sqrt{2m\left(E-V_0\right)}=\pm i\kappa \left(\kappa =\frac{\sqrt{2m\left(E-V_0\right)}}{\hslash }\right)}$

重ね合わせの原理より，

${\displaystyle \varphi \left(x\right)=C{e}^{i\kappa x}+D{e}^{-i\kappa x}}$

左方( ${\displaystyle x<0}$ )から電子を入射したとき， ${\displaystyle x<0}$ の領域では，入射角と反射角， ${\displaystyle x\geqq 0}$ の領域では，透過波のみの解になる．

${\displaystyle \varphi \left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}A{e}^{ikx}+B{e}^{-ikx}\left(x<0\right)\\ C{e}^{i\kappa x}\left(x\geqq 0\right)\end{array}\right\}}$

原点 ${\displaystyle O}$ の境界条件より解を求める．
波動関数 ${\displaystyle \varphi \left(x\right)}$ は原点 ${\displaystyle O}$ で等しくなるため

${\displaystyle A+B=C}$

また，導関数

${\displaystyle {\varphi }^{\prime }\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}ikA{e}^{ikx}-ikB{e}^{-ikx}\left(x<0\right)\\ i\kappa C{e}^{i\kappa x}\left(x\geqq 0\right)\end{array}\right\}}$

は原点 ${\displaystyle O}$ で等しくなるため

${\displaystyle kA-kB=\kappa C}$

${\displaystyle A-B=\frac{\kappa }{k}C}$

${\displaystyle 2A=\left(1+\frac{\kappa }{k}\right)C=\frac{k+\kappa }{k}C}$

${\displaystyle C=\frac{2k}{k+\kappa }A}$

${\displaystyle B=C-A=\frac{2k}{k+\kappa }A-\frac{k+\kappa }{k+\kappa }A=\frac{k-\kappa }{k+\kappa }A}$

よって，係数は
${\displaystyle B=\frac{k-\kappa }{k+\kappa }A}$ ， ${\displaystyle C=\frac{2k}{k+\kappa }A}$
ただし
${\displaystyle k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hslash }}$ ， ${\displaystyle \kappa =\frac{\sqrt{2m\left(E-V_0\right)}}{\hslash }}$

[1] ${\displaystyle E>V_0}$ の場合
入射角のエネルギーがポテンシャルのエネルギーより大きいとき，

${\displaystyle \kappa =\frac{\sqrt{2m\left(E-V_0\right)}}{\hslash }}$

は実数になる．したがって，入射波 ${\displaystyle A{e}^{ikx}}$ の一部は反射し(反射波 ${\displaystyle B{e}^{-ikx}}$ )，一部は透過波 ${\displaystyle C{e}^{i\kappa x}}$ として， ${\displaystyle x\geqq 0}$ の領域に伝搬する(下図)．

[2] ${\displaystyle E<V_0}$ の場合
入射波のエネルギーがポテンシャルのエネルギーより小さいとき，

${\displaystyle \kappa =\frac{\sqrt{2m\left(E-V_0\right)}}{\hslash }=i\frac{\sqrt{2m\left(V_0-E\right)}}{\hslash }=i{\kappa }^{\prime }}$

は虚数になる．透過波は

${\displaystyle C{e}^{i\kappa x}=C{e}^{-{\kappa }^{\prime }x}}$

として， ${\displaystyle x\geqq 0}$ の領域で指数関数的に減衰する．したがって，入射波 ${\displaystyle A{e}^{ikx}}$ は， ${\displaystyle x\geqq 0}$ の領域に指数関数的に減衰しながら侵入した後，反射する．(反射波 ${\displaystyle B{e}^{-kx}}$ )(下図)．

シュレディンガー方程式の定常解：ステップポテンシャルの場合（修正する）

一次元上を運動する自由粒子のシュレディンガー方程式は，

${\displaystyle i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\psi \left(x,t\right)=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\psi \left(x,t\right)}$

シュレディンガー方程式に ${\displaystyle \psi \left(x,t\right)=e^{ikx-i\omega t}}$ を代入すると

${\displaystyle i\hslash \frac{\partial }{\partial t}{e}^{ikx-i\omega t}=i\hslash \times \left(-i\omega e^{ikx-i\omega t}\right)=\hslash \omega e^{ikx-i\omega t}}$

${\displaystyle -\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}{e}^{ikx-i\omega t}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\times \left(-k^2{e}^{ikx-i\omega t}\right)=\frac{{\left(\hslash k\right)}^2}{2m}{e}^{ikx-i\omega t}}$

以下の関係式が得られる．

${\displaystyle \hslash \omega =\frac{{\left(\hslash k\right)}^2}{2m}}$

アインシュタイン・ド＝ブロイの関係式 ${\displaystyle E=\hslash \omega }$ ， ${\displaystyle p=\hslash k}$ より

${\displaystyle E=\frac{p^2}{2m}}$

これは，非相対論的なエネルギーを表す．

アインシュタイン・ド＝ブロイの関係式

${\displaystyle \omega =\frac{E}{\hslash }}$ ， ${\displaystyle k=\frac{p}{\hslash }}$

を用いて，自由粒子のシュレディンガー方程式の解は，以下で表される．

${\displaystyle \psi \left(x,t\right)=e^{i\frac{p}{\hslash }x-i\frac{E}{\hslash }t}}$

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2024年12月23日