変数分離

定数状態の場合，エネルギーは時間的に変化しないで一定値をとる．ここで，エネルギーの一定値としての定数関数を ${\displaystyle E}$ とおく．定常状態の場合，シュレディンガー方程式の解は変数分離 ${\displaystyle \psi \left(x,t\right)=\varphi \left(x\right)\phi \left(t\right)}$ で表すことができる．具体的に1次元( ${\displaystyle x}$ 軸上)のポテンシャル中を運動する質量 ${\displaystyle m}$ の量子に対するシュレディンガー方程式

${\displaystyle i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\psi \left(x,t\right)}$ ${\displaystyle =\left(-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+V\right)\psi \left(x,t\right)}$

にこの解を代入すると，

${\displaystyle \frac{1}{\phi \left(t\right)}\left[i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\phi \left(t\right)\right]}$ ${\displaystyle =\frac{1}{\varphi \left(x\right)}\left[\left(-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+V\right)\varphi \left(x\right)\right]}$

これが定数関数 ${\displaystyle E}$ に等しいとすると，変数分離により，以下2つの式に分離できる．

${\displaystyle i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\phi \left(t\right)=E\phi \left(t\right)}$

${\displaystyle \left(-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+V\right)\varphi \left(x\right)=E\varphi \left(x\right)}$

上式は，エネルギー演算子の固有値が一定値 ${\displaystyle E}$ になり，エネルギーが時間的に変化しない定常状態であることが確認できる．

変数 ${\displaystyle x}$ ， ${\displaystyle t}$ の式に分離したので，偏微分を微分で表し， ${\displaystyle \varphi \left(x\right)}$ に関して以下の式を得る．

${\displaystyle -\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2}{d{x}^2}\varphi \left(x\right)=\left(E-V\right)\varphi \left(x\right)}$

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2025年8月5日