減衰振動（ばね‐質量‐ダンパー系） ： シミュレーション

時刻 ${\displaystyle t}$ 〔s〕における質量 ${\displaystyle m}$ 〔kg〕の物体の位置 ${\displaystyle x}$ 〔m〕，速度 ${\displaystyle v}$ 〔m/s〕，加速度 ${\displaystyle a}$ 〔m/s²〕

運動方程式   ${\displaystyle ma=F=-kx-bv}$     （ ${\displaystyle k,b>0}$ ）

${\displaystyle k}$ 〔N/m〕：ばね定数， ${\displaystyle b}$ 〔N・s/m〕：速度に比例する抵抗力の比例定数

減衰率 ：  ${\displaystyle \gamma =\frac{b}{2m}}$ 〔s^-1〕 ，  単振動の角振動数 ：  ${\displaystyle {\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}}$ 〔rad/s〕

◆  ${\displaystyle \gamma <{\omega }_0}$  （ ${\displaystyle b<2\sqrt{mk}}$ ）  ： 抵抗が弱い場合（不足減衰）

${\displaystyle x=A{e}^{-\gamma t}\cos (\omega t+\alpha )}$        ${\displaystyle \omega =\sqrt{{\omega }_0^2-{\gamma }^2}}$
${\displaystyle v=\frac{dx}{dt}=-A{e}^{-\gamma t}\left\{\gamma \cos (\omega t+\alpha )+\omega \sin (\omega t+\alpha )\right\}}$

${\displaystyle A}$ 〔m〕：振幅， ${\displaystyle \omega }$ 〔rad/s〕：減衰振動の角振動数， ${\displaystyle \alpha }$ 〔rad〕：初期位相

◆  ${\displaystyle \gamma ={\omega }_0}$  （ ${\displaystyle b=2\sqrt{mk}}$ ）  ： 臨界減衰

${\displaystyle x=\left(c_1+c_{2}t\right)e^{-\gamma t}}$       （ ${\displaystyle c_1}$ 〔m〕， ${\displaystyle c_2}$ 〔m/s〕  ：定数）
${\displaystyle v=\frac{dx}{dt}=\left\{c_2-\gamma (c_1+c_{2}t)\right\}{e}^{-\gamma t}}$

◆  ${\displaystyle \gamma >{\omega }_0}$  （ ${\displaystyle b>2\sqrt{mk}}$ ）  ： 抵抗が強い場合（過減衰）

${\displaystyle x=e^{-\gamma t}\left(c_1{e}^{\eta t}+c_2{e}^{-\eta t}\right)}$        ${\displaystyle \eta =\sqrt{{\gamma }^2-{\omega }_0^2}}$       （ ${\displaystyle c_1}$ 〔m〕， ${\displaystyle c_2}$ 〔m〕  ：定数）
${\displaystyle v=\frac{dx}{dt}=-e^{-\gamma t}\left\{(\gamma -\eta )c_1{e}^{\eta t}+(\gamma +\eta )c_2{e}^{-\eta t}\right\}}$

散逸関数   ${\displaystyle D=\frac{1}{2}b{v}^2}$     ⇒    力学的エネルギー ${\displaystyle E}$ の散逸   ${\displaystyle \frac{dE}{dt}=-2D=-b{v}^2}$ 〔J/s〕