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減衰振動(不足減衰) : シミュレーション

単振動する物体に速度に比例する抵抗力が作用するときに,振幅が時間とともに小さくなる振動現象

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振動を開始/停止する.     初期位置に戻す.

抵抗がない場合(単振動)の固有振動数 ω0 と減衰率 γ の比である減衰比 ζ= γ/ ω0 を大きくすると速く減衰する.ここでは,減衰比を ζ<1 として,不足減衰( γ< ω0 )の場合のみに限定している.グラフに表示する横軸(時刻 t )の上限を変えることができる.

時刻 t 〔s〕における質量 m 〔kg〕の物体の位置 x 〔m〕,速度 v 〔m/s〕,加速度 a 〔m/s2

x=A eγt cos(ωt+α)        ω= ω02 γ2

v= dx dt =A eγt { γcos (ωt+α) + ωsin (ωt+α) }

a= dv dt = ( ω2+γ2 ) A eγt cos(ωt+α) +2γA eγt { γcos(ωt+α) + ωsin(ωt+α) }

= ω02x 2γv

A 〔m〕:振幅, ω0 〔rad/s〕:単振動の角振動数, ω 〔rad/s〕:減衰振動の角振動数,

γ 〔rad/s〕:減衰率, α 〔rad〕:初期位相 (上のシミュレーションでは α=0 としている.)

運動方程式   ma = mω02x 2mγv =F

散逸関数   D=mγ v2     ⇒    力学的エネルギー E の散逸   dE dt =2D = 2mγ v2


不足減衰

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