斜面を速く転がり落ちる順番

剛体の回転軸のまわりの慣性モーメントが大きいほど，その剛体は回転しにくい．したがって，斜面を滑らずに転がる場合，重心を通る回転軸のまわりの慣性モーメントが大きい剛体ほど遅く転がり落ちる．これらの剛体の，重心を通る回転軸のまわりの慣性モーメントを小さい順に並べると，

${\displaystyle \frac{2}{5}M{R}^2}$ (球) ${\displaystyle <\frac{1}{2}M{R}^2}$ (円柱) ${\displaystyle <\frac{2}{3}M{R}^2}$ (球殻) ${\displaystyle <M{R}^2}$ (円筒)

となる．したがって，球，円柱，球殻，円筒の順に速く転がり落ちる．

より詳細に考えてみよう．
重心を通る回転軸のまわりの剛体の慣性モーメントを ${\displaystyle I_{\text{G}}}$ とすると，水平面とのなす角 ${\displaystyle \beta }$ の斜面を転がり落ちる剛体の重心の加速度 ${\displaystyle A\left[\text{m}/{\text{s}}^2\right]}$ は

${\displaystyle A=\frac{g\sin \beta }{1+\frac{I_{\text{G}}}{M{R}^2}}}$

と表される．ここで， ${\displaystyle g\left[\text{m}/{\text{s}}^2\right]}$ は重力加速度の大きさである．したがって，これらの剛体についての慣性モーメント ${\displaystyle I_{\text{G}}}$ を代入して，重心の加速度の大きい順に並べると

${\displaystyle \frac{5}{7}g\sin \beta }$ (球) ${\displaystyle >\frac{2}{3}g\sin \beta }$ (円柱) ${\displaystyle >\frac{3}{5}g\sin \beta }$ (球殻) ${\displaystyle >\frac{1}{2}g\sin \beta }$ (円筒)

となる．つまり，重心の進む速さの順番は，半径 ${\displaystyle R\left[\text{m}\right]}$ ，質量 ${\displaystyle M\left[\text{kg}\right]}$ に関係なく，剛体の形状で決まる．

閉じる