円筒の慣性モーメント1

図1


図2

円筒の面密度を ${\displaystyle \sigma }$ とすると

${\displaystyle \sigma =\frac{M}{2\pi RL}}$

である．図1のように回転軸を ${\displaystyle z}$ 軸にとり，この円筒を ${\displaystyle z}$ 軸方向に微小幅 ${\displaystyle dz}$ でスライスし，多数の円環に分割する．さらに，円柱座標を考えて，${\displaystyle xy}$ 面上の座標を ${\displaystyle (r,\theta )}$ で表し，図2のように円環の円周を ${\displaystyle \theta }$ 方向で細分化する．このとき，微小円弧の長さ ${\displaystyle dl}$ は

${\displaystyle dl=Rd\theta }$

と表せるので，${\displaystyle z}$ 方向の厚さ ${\displaystyle dz}$ の微小部分の面積 ${\displaystyle dS}$ は

${\displaystyle dS=dl\cdot dz}$ ${\displaystyle =Rd\theta dz}$

である．よって，この微小部分の質量 ${\displaystyle dm}$ が

${\displaystyle dm=\sigma \cdot dS}$ ${\displaystyle =\frac{M}{2\pi RL}\cdot Rd\theta dz}$ ${\displaystyle =\frac{M}{2\pi L}d\theta dz}$

で，回転半径が ${\displaystyle R}$ なので，この微小部分の慣性モーメント ${\displaystyle dI}$ は

${\displaystyle dI=dm\cdot R^2}$ ${\displaystyle =\frac{M{R}^2}{2\pi L}d\theta dz}$

となる．したがって，求める慣性モーメント ${\displaystyle I}$ は

${\displaystyle I={\displaystyle {\int }_{D}dI}}$ ${\displaystyle =\frac{M{R}^2}{2\pi L}{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }d\theta }{\displaystyle {\int }_0^{L}dz}}$
${\displaystyle \phantom{I}=\frac{M{R}^2}{2\pi L}\cdot {\left[\theta \right]}_0^{2\pi }\cdot {\left[z\right]}_0^L}$
${\displaystyle \phantom{I}=\frac{M{R}^2}{2\pi L}\cdot 2\pi \cdot L}$ ${\displaystyle =M{R}^2}$

となる．

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