二等辺三角形の薄板の慣性モーメント1

二等辺三角形の薄板の面密度を ${\displaystyle \sigma }$ とすると，この薄板の面積は ${\displaystyle S=ab/2}$ なので

${\displaystyle \sigma =\frac{2M}{ab}}$

である．図のように，この薄板を ${\displaystyle x}$ 軸方向に微小幅 ${\displaystyle dx}$ の細長い長方形に分割する． ${\displaystyle x}$ 軸方向の位置 ${\displaystyle x}$ での微小幅 ${\displaystyle dx}$ の長方形の長さは ${\displaystyle b-\frac{2b}{a}|x|}$ なので，この長方形の微小面積 ${\displaystyle dS}$ は

${\displaystyle dS=(b-\frac{2b}{a}|x|)\cdot dx}$

である．よって，この部分の微小質量が

${\displaystyle dm=\sigma \cdot dS}$ ${\displaystyle =\frac{2M}{ab}(b-\frac{2b}{a}|x|)dx}$ ${\displaystyle =\frac{2M}{a^2}(a-2|x|)dx}$

となる．この長方形の回転半径は ${\displaystyle \left|x\right|}$ であるので，回転軸周りの微小慣性モーメントは

${\displaystyle dI={|x|}^{2}dm}$ ${\displaystyle =\frac{2M}{a^2}{x}^2(a-2|x|)dx}$

と表せる．したがって，求める慣性モーメントは

${\displaystyle I={\int }_{D}dI}$ ${\displaystyle =\frac{2M}{a^2}{\int }_{-a/2}^{a/2}{x}^2(a-2|x|)dx}$ ${\displaystyle =\frac{4M}{a^2}{\int }_0^{a/2}{x}^2(a-2x)dx}$ ${\displaystyle =\frac{4M}{a^2}{[\frac{1}{3}a{x}^3-\frac{1}{2}{x}^4]}_0^{a/2}}$ ${\displaystyle =\frac{M{a}^2}{2}(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})}$ ${\displaystyle =\frac{M{a}^2}{24}}$

となる．

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