菱形の薄板の慣性モーメント

薄板の面積 ${\displaystyle S}$ が

${\displaystyle S=\frac{1}{2}ab\times 4=2ab}$

であるので，面密度 ${\displaystyle s}$ は

${\displaystyle s=\frac{M}{S}=\frac{M}{2ab}}$

である．

まず ${\displaystyle x}$ 軸まわりの慣性モーメントを考える．
右図のように ${\displaystyle y}$ 軸方向に微小な幅 ${\displaystyle dy}$ で分割すると， ${\displaystyle y}$ 軸方向の位置が ${\displaystyle y}$ である微小部分の質量 ${\displaystyle dm}$ は

${\displaystyle dm=s\times 2\left(a-\frac{a}{b}\left|y\right|\right)\times dy=\frac{M}{b^2}\left(b-\left|y\right|\right)dy}$

であり，微小部分の回転半径は ${\displaystyle r=\left|y\right|}$ である．よって ${\displaystyle x}$ 軸まわりの慣性モーメントは

${\displaystyle I_x={\displaystyle {\int }_M{r}^{2}dm}={\displaystyle {\int }_{-b}^b{y}^2\times \frac{M}{b^2}\left(b-\left|y\right|\right)dy}}$

${\displaystyle =\frac{M}{b^2}{{\displaystyle {\int }_{-b}^b\left(b{y}^2-y^2\left|y\right|\right)dy=2\times \frac{M}{b^2}\left[\frac{b}{3}{y}^3-\frac{1}{4}{y}^4\right]}}_0^b}$

${\displaystyle =2\times \frac{M}{b^2}\times \frac{b^4}{12}=\frac{M{b}^2}{6}}$

となる．


次に ${\displaystyle y}$ 軸まわりの慣性モーメントを考える．
右図のように ${\displaystyle x}$ 軸方向に微小な幅 ${\displaystyle dx}$ で分割すると， ${\displaystyle x}$ 軸方向の位置が ${\displaystyle x}$ である微小部分の質量 ${\displaystyle dm}$ は

${\displaystyle dm=s\times 2\left(b-\frac{b}{a}\left|x\right|\right)\times dx=\frac{M}{a^2}\left(a-\left|x\right|\right)dx}$

であり，微小部分の回転半径は ${\displaystyle r=\left|x\right|}$ である．よって ${\displaystyle y}$ 軸まわりの慣性モーメントは

${\displaystyle I_y={\displaystyle {\int }_M{r}^{2}dm}={\displaystyle {\int }_{-a}^a{x}^2\times \frac{M}{a^2}\left(a-\left|x\right|\right)dx}}$

${\displaystyle =\frac{M}{a^2}{{\displaystyle {\int }_{-a}^a\left(a{x}^2-x^2\left|x\right|\right)dx=2\times \frac{M}{a^2}\left[\frac{a}{3}{x}^3-\frac{1}{4}{x}^4\right]}}_0^a}$

${\displaystyle =2\times \frac{M}{a^2}\times \frac{a^4}{12}=\frac{M{a}^2}{6}}$

となる．


最後に ${\displaystyle z}$ 軸まわりの慣性モーメントを考える．
右図のように ${\displaystyle xy}$ 方向に微小な幅 ${\displaystyle dxdy}$ で分割すると，微小部分の質量 ${\displaystyle dm}$ は

${\displaystyle dm=sdxdy=\frac{M}{2ab}dxdy}$

であり，微小部分の回転半径は ${\displaystyle r=\sqrt{x^2+y^2}}$ である．
積分範囲については，

${\displaystyle -b\le y\le 0}$　 ${\displaystyle }$ のとき　 ${\displaystyle }$ ${\displaystyle -\frac{a}{b}y-a\le x\le \frac{a}{b}y+a}$

${\displaystyle 0\le y\le b}$ ${\displaystyle }$ のとき　 ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \frac{a}{b}y-a\le x\le -\frac{a}{b}y+a}$

となる．よって ${\displaystyle z}$ 軸まわりの慣性モーメントは

${\displaystyle I_z={\displaystyle {\int }_M{r}^{2}dm}={\displaystyle {\int }_M\left(x^2+y^2\right)\times \frac{M}{2ab}dxdy}}$

${\displaystyle =\frac{M}{2ab}\left\{{\displaystyle {\int }_{-b}^0\left({\displaystyle {\int }_{-\frac{a}{b}y-a}^{\frac{a}{b}y+a}\left(x^2+y^2\right)dx}\right)}dy+{\displaystyle {\int }_0^b\left({\displaystyle {\int }_{\frac{a}{b}y-a}^{-\frac{a}{b}y+a}\left(x^2+y^2\right)dx}\right)dy}\right\}}$

${\displaystyle =\frac{M}{2ab}\left\{{\displaystyle {\int }_{-b}^0{\left[\frac{1}{3}{x}^3+x{y}^2\right]}_{-\frac{a}{b}y-a}^{\frac{a}{b}y+a}dy+{\displaystyle {\int }_0^b{\left[\frac{1}{3}{x}^3+x{y}^2\right]}_{\frac{a}{b}y-a}^{-\frac{a}{b}y+a}dy}}\right\}}$

${\displaystyle =\frac{M}{2ab}\left\{{\displaystyle {\int }_{-b}^{0}2\left(\frac{a^3}{3b^3}{\left(b+y\right)}^3+\frac{a}{b}\left(b+y\right)y^2\right)}dy+{\displaystyle {\int }_0^{b}2\left(\frac{a^3}{3b^3}{\left(b-y\right)}^3+\frac{a}{b}\left(b-y\right)y^2\right)}dy\right\}}$

${\displaystyle =\frac{M}{b^2}\left\{{\left[\frac{a^2}{12b^2}{\left(b+y\right)}^4+\left(\frac{b}{3}{y}^3+\frac{1}{4}{y}^4\right)\right]}_{-b}^0+{\left[\frac{a^2}{12b^2}{\left(b-y\right)}^4+\left(\frac{b}{3}{y}^3-\frac{1}{4}{y}^4\right)\right]}_0^b\right\}}$

${\displaystyle =\frac{M}{b^2}\left\{\frac{a^2{b}^2}{12}-\left(-\frac{b^4}{3}+\frac{b^4}{4}\right)+\frac{a^2{b}^2}{12}+\left(\frac{b^4}{3}-\frac{b^4}{4}\right)\right\}}$

${\displaystyle =\frac{M}{b^2}\left(\frac{a^2{b}^2}{6}+\frac{b^4}{6}\right)=\frac{M}{6}\left(a^2+b^2\right)}$

となる．

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