質量
m [
kg ]
の質点が
z
軸の周りを半径
r
[ m ]
の円軌道を描いて回転するとき，
z
軸のまわりの慣性モーメント
I
は次式となる．
I=m
r2
今回の問題のように連続体の慣性モーメントを求める場合，図のように棒を細分化し，微小部分（微小質量
dm
）の集合体として考える．それぞれの微小部分の
z
軸からの距離を
x
(
0≤x≤l
)
としたとき，距離
x
の位置にある微小部分の，
z
軸のまわりの微小慣性モーメント
dI
は，
dI=
x
2
dm
となる．この一様な棒の線密度（単位長さ当たりの質量）を
λ
とすると
dm
は微小長さ
dx×
線密度
λ
で表せる．棒の
質量は
M
，長さは
l
なので，この棒の線密度は，
λ=
M
l
[
kg/m ]
となるので，微小質量は
dm=λdx
=
M
l
dx
となる．棒の慣性モーメントは，この微小慣性モーメント
dI
を
x
が０から
l
まで足し合わせる（積分する）ことで求められる．したがって
I=∫dI=∫
x
2
dm=
∫
0
l
x
2
M
l
dx
=
M
l
[
x
3
3
]
0
l
=
M
l
(
l
3
3
−
0
3
)=
M
l
2
3
を得る．
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