菱形の薄板の慣性モーメント

薄板の面積 S が

S= 1 2 ab×4=2ab

であるので，面密度 s は

s= M S = M 2ab

である．

まず x 軸まわりの慣性モーメントを考える．
右図のように y 軸方向に微小な幅 dy で分割すると， y 軸方向の位置が y である微小部分の質量 dm は

dm=s×2( a− a b | y | )×dy= M b 2 ( b−| y | )dy

であり，微小部分の回転半径は r=| y | である．よって x 軸まわりの慣性モーメントは

I x = ∫ M r 2 dm = ∫ −b b y 2 × M b 2 ( b−| y | )dy

     = M b 2 ∫ −b b ( b y 2 − y 2 | y | )dy=2× M b 2 [ b 3 y 3 − 1 4 y 4 ] 0 b

     =2× M b 2 × b 4 12 = M b 2 6

となる．


次に y 軸まわりの慣性モーメントを考える．
右図のように x 軸方向に微小な幅 dx で分割すると， x 軸方向の位置が x である微小部分の質量 dm は

dm=s×2( b− b a | x | )×dx= M a 2 ( a−| x | )dx

であり，微小部分の回転半径は r=| x | である．よって y 軸まわりの慣性モーメントは

I y = ∫ M r 2 dm = ∫ −a a x 2 × M a 2 ( a−| x | )dx

     = M a 2 ∫ −a a ( a x 2 − x 2 | x | )dx=2× M a 2 [ a 3 x 3 − 1 4 x 4 ] 0 a

     =2× M a 2 × a 4 12 = M a 2 6

となる．


最後に z 軸まわりの慣性モーメントを考える．
右図のように xy 方向に微小な幅 dxdy で分割すると，微小部分の質量 dm は

dm=sdxdy= M 2ab dxdy

であり，微小部分の回転半径は r= x 2 + y 2 である．
積分範囲については，

−b≤y≤0 　      のとき　      − a b y−a≤x≤ a b y +a

0≤y≤b                   のとき　      a b y−a≤x≤− a b y +a

となる．よって z 軸まわりの慣性モーメントは

I z = ∫ M r 2 dm = ∫ M ( x 2 + y 2 )× M 2ab dxdy

     = M 2ab { ∫ −b 0 ( ∫ − a b y−a a b y+a ( x 2 + y 2 )dx ) dy+ ∫ 0 b ( ∫ a b y−a − a b y+a ( x 2 + y 2 )dx )dy }

     = M 2ab { ∫ −b 0 [ 1 3 x 3 +x y 2 ] − a b y−a a b y+a dy+ ∫ 0 b [ 1 3 x 3 +x y 2 ] a b y−a − a b y+a dy }

     = M 2ab { ∫ −b 0 2( a 3 3 b 3 ( b+y ) 3 + a b ( b+y ) y 2 ) dy+ ∫ 0 b 2( a 3 3 b 3 ( b−y ) 3 + a b ( b−y ) y 2 ) dy }

      = M b 2 { [ a 2 12 b 2 ( b+y ) 4 +( b 3 y 3 + 1 4 y 4 ) ] −b 0 + [ a 2 12 b 2 ( b−y ) 4 +( b 3 y 3 − 1 4 y 4 ) ] 0 b }

      = M b 2 { a 2 b 2 12 −( − b 4 3 + b 4 4 )+ a 2 b 2 12 +( b 4 3 − b 4 4 ) }

      = M b 2 ( a 2 b 2 6 + b 4 6 )= M 6 ( a 2 + b 2 )

となる．

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