問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください.

2階線形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式一般解を求めなさい.

y y 2y=9 e 2x

■答

y= c 1 e 2x + c 2 e x +3x e 2x

(ただし c 1 , c 2 は任意定数)

■ヒント

まず,特性方程式を立てると

t 2 t2=0

となる.

次に,非同次項が 9 e 2x なので与式の特殊解の一つ y p

y p =Kx e 2x

の形とする.

■解き方

特性方程式を解くと

t 2 t2=0

( t2 )( t+1 )=0

t=2,1

よって一般解

y= c 1 e 2x + c 2 e x , c 1 , c 2 は任意定数

(定数係数線形同次微分方程式を参照)

次に,特殊解を解く

( Kx e 2x ) ( Kx e 2x ) 2( Kx e 2x ) =9 e 2x

3K e 2x =9 e 2x

3K=9

K=3

よって

y p =3x e 2x

以上より

y= c 1 e 2x + c 2 e x +3x e 2x

 

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最終更新日: 2023年6月20日

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