微分の計算問題

■問題

次の関数を微分せよ．

${\displaystyle y=e^{-x}}$

■答

${\displaystyle y^{\prime }=-e^{-x}}$

■ヒント

合成関数の微分

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}}$

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle y=e^{-x}}$ を${\displaystyle y=e^u}$ ,${\displaystyle u=-x}$ とおく．

${\displaystyle \frac{dy}{du}=e^u}$，${\displaystyle \frac{du}{dx}=-1}$

よって

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}}$ ${\displaystyle =e^u\cdot \left(-1\right)}$ ${\displaystyle =-e^{-x}}$

●別解

合成関数の微分

${\displaystyle {\left\{f\left(g\left(x\right)\right)\right\}}^{\prime }=f^{\prime }\left(g\left(x\right)\right)g^{\prime }\left(x\right)}$

の公式を用いた場合

${\displaystyle y=e^{-x}}$，${\displaystyle f\left(u\right)=e^u}$，${\displaystyle u=g\left(x\right)=-x}$

と考える．

${\displaystyle f^{\prime }\left(u\right)=e^u}$　→　${\displaystyle f^{\prime }\left(g\left(x\right)\right)=e^{-x}}$，${\displaystyle g^{\prime }\left(x\right)=-1}$

となる．よって

${\displaystyle y^{\prime }=f^{\prime }\left(g\left(x\right)\right)g^{\prime }\left(x\right)}$${\displaystyle =e^{-x}\cdot \left(-1\right)}$${\displaystyle =-e^{-x}}$

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最終更新日： 2021年3月22日