微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

${\displaystyle y=log\left(log\left(log\left(log5x\right)\right)\right)}$

■答

■ヒント

${\displaystyle logx}$の微分の公式と合成関数の微分の公式を利用して解く．

■解説

${\displaystyle y=log\left(log\left(log\left(log5x\right)\right)\right)}$

この式を

${\displaystyle y=logs}$ ，${\displaystyle s=log\left(log\left(log5x\right)\right)}$

と置き，合成関数の微分の公式を用いる．

${\displaystyle \frac{dy}{ds}=\frac{1}{s}}$  

${\displaystyle \frac{ds}{dx}}$  は

${\displaystyle s=\log t}$  ，${\displaystyle t=\log \left(\log 5x\right)}$

と置き，合成関数の微分の公式を用いる．

${\displaystyle \frac{ds}{dx}=\frac{1}{t}}$  

${\displaystyle \frac{dt}{dx}}$  は

${\displaystyle t=\log u}$  ， ${\displaystyle u=\log 5x}$

と置き，合成関数の微分の公式を用いる．

${\displaystyle \frac{dt}{du}=\frac{1}{u}}$  

${\displaystyle \frac{du}{dx}}$  は

${\displaystyle u=\log v}$  ， ${\displaystyle v=5x}$

と置き，合成関数の微分の公式を用いる．

${\displaystyle \frac{du}{dv}=\frac{1}{v}}$ ，${\displaystyle \frac{dv}{dx}=5}$

以上より 

${\displaystyle \frac{du}{dx}=\frac{du}{dv}·\frac{dv}{dx}=\frac{1}{v}·5}$  

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=\frac{dt}{du}·\frac{du}{dx}=\frac{1}{u}·\frac{1}{v}·5}$  

${\displaystyle \frac{ds}{dx}=\frac{ds}{dt}·\frac{dt}{dx}=\frac{1}{t}·\frac{1}{u}·\frac{1}{v}·5}$  

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{ds}·\frac{ds}{dx}=\frac{1}{s}·\frac{1}{t}·\frac{1}{u}·\frac{1}{v}·5}$  

したがって

　 

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最終更新日： 2021年3月22日