微分の計算問題

■問題

次の条件を満たす時，3次関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$ を求めよ．

${\displaystyle x{f}^{″}\left(x\right)+\left(3+x\right)f^{\prime }\left(x\right)-3f\left(x\right)=0}$

${\displaystyle f\left(0\right)=1}$

■答

${\displaystyle f\left(x\right)=\frac{1}{60}{x}^3+\frac{1}{4}{x}^2+x+1}$

■ヒント

${\displaystyle f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d}$ とおく．

■解説

${\displaystyle f\left(x\right)}$ は3次関数なので

${\displaystyle f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d}$

と置く．

${\displaystyle f\left(0\right)=1}$ より

${\displaystyle f\left(0\right)=a·0^3+b·0^2+c·0+d=1}$

${\displaystyle d=1}$

よって

${\displaystyle f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+1}$ ･･････(1)

また

${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)=3a{x}^2+2bx+c}$  ･･････(2)

${\displaystyle f^{″}\left(x\right)=6ax+2b}$ ･･････(3)

となりる．

(1)，(2)，(3)を与式に代入する．

（４）がすべてのx で成り立つためには各項の係数が0でなければならない．よって

${\displaystyle \{\begin{array}{l}15a-b=0\\ 4b-c=0\\ c-1=0\end{array}}$

の連立方程式が得られる．これを解くと

${\displaystyle c=1}$ ，${\displaystyle b=\frac{1}{4}}$，${\displaystyle a=\frac{1}{60}}$

となる．したがって

${\displaystyle f\left(x\right)=\frac{1}{60}{x}^3+\frac{1}{4}{x}^2+x+1}$

となる．

　

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最終更新日： 2024年9月24日