微分の計算問題

■問題

次の関数の第2次導関数を求めよ．

${\displaystyle y=e^{ax}cosbx}$

■答

${\displaystyle y^{″}=e^{ax}\left\{\left(a^2-b^2\right)cosbx-2absinbx\right\}}$

■ヒント

合成関数の微分の公式を利用して解く．

■解説

${\displaystyle y=e^{ax}cosbx}$

${\displaystyle y^{\prime }={\left(e^{ax}\right)}^{\prime }cosbx+e^{ax}{\left(cosbx\right)}^{\prime }}$

${\displaystyle {\displaystyle =a{e}^{ax}cosbx+e^{ax}\left(-bsinbx\right)}}$

${\displaystyle =e^{ax}\left(acosbx-bsinbx\right)}$

${\displaystyle y^{″}={\left(e^{ax}\right)}^{\prime }\left(a\cos bx-b\sin bx\right)}$ ${\displaystyle +e^{ax}(a\cos bx}$ ${\displaystyle {-b\sin bx)}^{\prime }}$

${\displaystyle =a{e}^{ax}(a\cos bx-b\sin bx)}$${\displaystyle +e^{ax}(-ab\sin bx}$ ${\displaystyle -b^2\cos bx)}$

${\displaystyle =e^{ax}\left\{\left(a^2-b^2\right)cosbx-2absinbx\right\}}$

　

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年10月9日