微分の計算問題

■問題

次の条件式を満たす $a$ ， $b$ を求めよ．

$y = e^{x} + e^{- 2 x}$ ， $y^{″} + 3 a y^{'} + b y = 0$

$a$ $= \frac{1}{3}$ ， $b$ $= - 2$

第2次導関数を求め，代入して解く．

$y = e^{x} + e^{- 2 x}$

$y^{'} = e^{x} - 2 e^{- 2 x}$

$y^{″} = e^{x} + 4 e^{- 2 x}$

これらを， $y^{″} + 3 a y^{'} + b y = 0$ に代入する．

$(e^{x} + 4 e^{- 2 x}) + 3 a (e^{x} - 2 e^{- 2 x}) + b (e^{x} + e^{- 2 x}) = 0$

$e^{x} + 4 e^{- 2 x} + 3 a e^{x} - 6 a e^{- 2 x} + b e^{x} + b e^{- 2 x} = 0$

$(1 + 3 a + b) e^{x} + (4 - 6 a + b) e^{- 2 x} = 0$

$e^{x} \neq 0$ ， $e^{- 2 x} \neq 0$ より上の方程式が変数 $x$ に対して常に成り立つためには， $e^{x}$ ， $e^{- 2 x}$ の係数が0でなければならない．すなわち，連立方程式

${\begin{cases} 1 + 3 a + b = 0 \\ 4 - 6 a + b = 0 \end{cases}$

が成り立たなくてはならない．この連立方程式を解くと

$a = \frac{1}{3}$ ， $b = - 2$

となる．

学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年10月9日