微分の計算問題

■問題

次の条件式を満たす時，3次関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$を求めよ．

${\displaystyle f\left(0\right)=4}$ ，${\displaystyle f\left(1\right)=10}$ ，${\displaystyle f^{\prime }\left(2\right)=23}$ ，${\displaystyle f^{″}\left(3\right)=22}$

■答

${\displaystyle f\left(x\right)=x^3+2x^2+3x+4}$

■ヒント

${\displaystyle f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d}$ とおく．

■解説

${\displaystyle f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d}$

とおく．すると

${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)=3a{x}^2+2bx+c}$

${\displaystyle f^{″}\left(x\right)=6ax+2b}$

となる．

題意より

${\displaystyle f\left(0\right)=a·0^3+b·0^2+c·0+d=4}$

${\displaystyle f\left(1\right)=a·1^3+b·1^2+c·1+d=10}$

${\displaystyle f^{\prime }\left(2\right)=3a·2^2+2b·2+c=23}$

${\displaystyle f^{″}\left(3\right)=6a·3+2b=22}$

の関係式が得られる．すなわち

${\displaystyle \{\begin{array}{l}d=4\\ a+b+c+d=10\\ 12a+4b+c=23\\ 18a+2b=22\end{array}}$

の連立方程式が得られる．この連立方程式を解くと

${\displaystyle a=1}$ ，${\displaystyle b=2}$ ，${\displaystyle c=3}$ ，${\displaystyle d=4}$

となる．したがって，求める3次関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$ は

${\displaystyle f\left(x\right)=x^3+2x^2+3x+4}$

である．

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年10月9日