微分に関する問題

■問題

次の関数の${\displaystyle y^{″}}$ を${\displaystyle x}$ を用いずに，${\displaystyle y}$，${\displaystyle y^{\prime }}$を用いて表せ．

${\displaystyle y=e^{ax}\cos bx}$

■答

${\displaystyle y^{″}=-\left(a^2+b^2\right)y+2a{y}^{\prime }}$

■ヒント

合成関数の微分の公式を利用して解く．

■解説

${\displaystyle y=e^{ax}\cos bx}$･･････(1)

${\displaystyle y^{\prime }={\left(e^{ax}\right)}^{\prime }\cos bx+e^{ax}{\left(\cos bx\right)}^{\prime }}$

${\displaystyle =a{e}^{ax}\cos bx-b{e}^{ax}\sin bx}$

${\displaystyle =e^{ax}\left(a\cos bx-b\sin bx\right)}$･･････(2)

${\displaystyle y^{″}={\left(e^{ax}\right)}^{\prime }\left(a\cos bx-b\sin bx\right)}$ ${\displaystyle +e^{ax}(a\cos bx}$${\displaystyle {-b\sin bx)}^{\prime }}$

${\displaystyle =a{e}^{ax}\left(a\cos bx-b\sin bx\right)}$${\displaystyle +e^{ax}(-ab\sin bx}$${\displaystyle -b^2\cos bx)}$

${\displaystyle =a^2{e}^{ax}\cos bx-2ab{e}^{ax}\sin bx}$${\displaystyle -b^2{e}^{ax}\cos bx}$

${\displaystyle =\left(a^2-b^2\right)e^{ax}\cos bx-2ab{e}^{ax}\sin bx}$ ･･････(3)

(1)より

${\displaystyle e^{ax}\cos bx=y}$ ･･････(4)

(4)，(2)より

${\displaystyle y^{\prime }=ay-b{e}^{ax}\sin bx}$

${\displaystyle b{e}^{ax}\sin bx=ay-y^{\prime }}$ ･･････(5)

(4)，(5)を(3)に代入する．

${\displaystyle y^{″}=\left(a^2-b^2\right)y-2a\left(ay-y^{\prime }\right)}$

${\displaystyle =a^{2}y-b^{2}y-2a^{2}y+2a{y}^{\prime }}$

${\displaystyle =-\left(a^2+b^2\right)y+2a{y}^{\prime }}$

　

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最終更新日： 2023年10月9日