周期関数
f x = −1 −π≦x<0 1 0≦x<π , f x+2π =f x
のフーリエ級数を求めよ.
f x ∼ 4 π sinx+ 1 3 sin3x+ 1 5 sin5x+ 1 7 sin7x+⋅⋅⋅
フーリエ係数
a 0 = 1 2π ∫ −π π f( x )dx
a n = 1 π ∫ −π π f( x )cosnx dx ( n=1,2,3 · · · )
b n = 1 π ∫ −π π f( x )sinnxdx ( n=1,2,3 · · · )
を求める.
a 0 = 1 2π ∫ −π π f x dx
= 1 2π ∫ −π 0 −1 dx + ∫ 0 π dx
= 1 2π −x −π 0 + x 0 π
= 1 2π −π+π
=0
a n = 1 π ∫ −π π f x cosnx dx
= 1 π ∫ −π 0 −1 cosnxdx + ∫ 0 π cosnxdx
= 1 π − 1 n sinnx −π 0 + 1 n sinnx 0 π
= 1 π 0+0
b n = 1 π ∫ −π π f x sinnx dx
= 1 π ∫ −π 0 −1 sinnxdx + ∫ 0 π sinnxdx
= 1 π 1 n cosnx −π 0 + − 1 n cosnx 0 π
= 1 π 1 n 1−cos −nπ + 1 n 1−cosnπ
余弦関数は偶関数なので cos −nπ =cosnπ
= 1 π 1 n 1−cosnπ + 1 n 1−cosnπ
= 2 1−cosnπ nπ
= 2 1− −1 n nπ (∵ cosnπ= −1 n )
= 0 nが偶数 4 nπ nが奇数
以上より
となる.
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最終更新日: 2023年7月7日
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