フーリエ級数の問題

■問題

周期関数

f x = 1 πx<0 1 0x<π f x+2π =f x

フーリエ級数を求めよ.

■答

f x 4 π sinx+ 1 3 sin3x+ 1 5 sin5x+ 1 7 sin7x+

■ヒント

フーリエ係数

a 0 = 1 2π π π f( x )dx

a n = 1 π π π f( x )cosnx dx      ( n=1,2,3··· )

b n = 1 π π π f( x )sinnxdx      ( n=1,2,3··· )

を求める.

■解説

a 0 = 1 2π π π f x dx

= 1 2π π 0 1 dx + 0 π dx

= 1 2π x π 0 + x 0 π

= 1 2π π+π

=0

 

a n = 1 π π π f x cosnx dx

= 1 π π 0 1 cosnxdx + 0 π cosnxdx

= 1 π 1 n sinnx π 0 + 1 n sinnx 0 π

= 1 π 0+0

=0

 

b n = 1 π π π f x sinnx dx

= 1 π π 0 1 sinnxdx + 0 π sinnxdx

= 1 π 1 n cosnx π 0 + 1 n cosnx 0 π

= 1 π 1 n 1cos nπ + 1 n 1cosnπ

余弦関数は偶関数なので cos nπ =cosnπ

= 1 π 1 n 1cosnπ + 1 n 1cosnπ

= 2 1cosnπ nπ

= 2 1 1 n nπ  (∵ cosnπ= 1 n

= 0 nが偶数 4 nπ nが奇数

以上より

f x 4 π sinx+ 1 3 sin3x+ 1 5 sin5x+ 1 7 sin7x+

となる.

 

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最終更新日: 2023年7月7日

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