偏微分の基礎

■問題

次の関数を偏微分せよ．

${\displaystyle z=log\left(x-y\right)}$

■答

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{x-y},\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{1}{y-x}}$

■ヒント

合成関数の微分を行う．
偏導関数の定義を用いて偏微分する．

■解説

${\displaystyle u=x-y}$ とおくと

${\displaystyle z=logu}$

対数の微分を行う．

${\displaystyle \frac{dz}{du}}$${\displaystyle =\frac{1}{u}}$${\displaystyle =\frac{1}{x-y}}$

偏導関数の定義より， ${\displaystyle y}$ を定数とみなして ${\displaystyle x}$ で微分する．

${\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}}$${\displaystyle =1·x^{1-1}}$${\displaystyle =1}$

${\displaystyle \frac{dz}{du}·\frac{\partial u}{\partial x}}$${\displaystyle =\frac{1}{x-y}·1}$

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}}$${\displaystyle =\frac{1}{x-y}}$

偏導関数の定義より， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ で微分する．

${\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}}$${\displaystyle =-1·y^{1-1}}$${\displaystyle =-1}$

${\displaystyle \frac{dz}{du}·\frac{\partial u}{\partial y}}$${\displaystyle =\frac{1}{x-y}·\left(-1\right)}$

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}}$${\displaystyle =\frac{1}{y-x}}$

　

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年8月24日