偏微分の基礎

■問題

次の関数を偏微分せよ．

${\displaystyle z={tan}^{-1}\frac{y}{x}}$

■答

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{y}{x^2+y^2}}$，${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{x}{x^2+y^2}}$

■ヒント

偏導関数の定義を用いて偏微分する．
微分の際は ${\displaystyle {tan}^{-1}x}$  の微分の公式を用いる．

■解説

偏導関数の定義より， ${\displaystyle y}$ を定数とみなして ${\displaystyle x}$ で微分する．
${\displaystyle {tan}^{-1}x}$  の微分の公式を用いる．

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}}$${\displaystyle =\frac{1}{1+{\left(\frac{y}{x}\right)}^2}\frac{\partial }{\partial x}\frac{y}{x}}$

${\displaystyle =\frac{1}{1+\frac{y^2}{x^2}}\left(-\frac{y}{x^2}\right)}$

${\displaystyle =\frac{-\frac{y}{x^2}}{\frac{x^2+y^2}{x^2}}}$

${\displaystyle =-\frac{y}{x^2+y^2}}$

偏導関数の定義より， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ で微分する．
${\displaystyle {tan}^{-1}x}$  の微分の公式を用いる．

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}}$${\displaystyle =\frac{1}{1+{\left(\frac{y}{x}\right)}^2}\frac{\partial }{\partial y}\frac{y}{x}}$

${\displaystyle =\frac{1}{1+\frac{y^2}{x^2}}\left(\frac{1}{x}\right)}$

${\displaystyle =\frac{\frac{1}{x}}{\frac{x^2+y^2}{x^2}}}$

${\displaystyle =\frac{x}{x^2+y^2}}$

　

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最終更新日： 2023年8月24日