偏微分の基礎

■問題

次の関数を偏微分せよ．

${\displaystyle z=e^{-ax}\left(\sin by+\cos by\right)}$

■答

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=-a{e}^{-ax}\left(\sin by+\cos by\right)}$，${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=-b{e}^{-ax}\left(\sin by-\cos by\right)}$

■ヒント

偏導関数の定義を用いて偏微分する．

■解説

偏導関数の定義より， ${\displaystyle y}$ を定数とみなして ${\displaystyle x}$ で微分する．

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}}$${\displaystyle =-a{e}^{-ax}\left(\sin by+\cos by\right)}$

偏導関数の定義より， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ で微分する．

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}}$${\displaystyle =e^{-ax}\left(b\cos by-b\sin by\right)}$

共通因数をくくりだす．

${\displaystyle =-b{e}^{-ax}\left(\sin by-\cos by\right)}$

　

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2026年9月29日